Hľadáme maticu zobrazenia

[Martin Sleziak]

Nejaké staršie úlohy, kde je (okrem iného) vypočítaná matica zobrazenia, sa dajú nájsť tu:
viewtopic.php?t=549
viewtopic.php?t=815
viewtopic.php?t=996
Detailné riešenie takejto úlohy (aj s nejakým pokecom prečo to funguje a ako sa dá robiť skúška) sa dá nájsť v poznámkach z Algebry 1 pre prvákov informatikov.

[Martin Sleziak]

Nájdite maticu aspoň jedného lineárneho zobrazenia $f\colon(\mathbb Z_5)^3 \to (\mathbb Z_5)^4$, ktoré spĺňa uvedené podmienky. (Alebo zdôvodnite, že také zobrazenie neexistuje.)
\begin{align*}
f(2,1,3)&=(1,2,1,3)\\
f(3,2,3)&=(1,3,1,2)\\
f(3,0,4)&=(3,3,4,0)
\end{align*}

Úloha sa dá rátať štandardným postupom.
$\left(\begin{array}{ccc|cccc}
2 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 & 3 \\
3 & 2 & 3 & 1 & 3 & 1 & 2 \\
3 & 0 & 4 & 3 & 3 & 4 & 0
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 0 & 3 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 4 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3
\end{array}\right)$
Zistili sme, že zobrazenie by muselo spĺňať $f(0,0,0)=(0,0,1,3)$.
Takéto lineárne zobrazenie neexistuje -- lineárne zobrazenie musí nulový vektor zobraziť na nulový vektor.

Spoiler:

$\left(\begin{array}{ccc|cccc}
2 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 & 3 \\
3 & 2 & 3 & 1 & 3 & 1 & 2 \\
3 & 0 & 4 & 3 & 3 & 4 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
2 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 4 \\
3 & 0 & 4 & 3 & 3 & 4 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 4 \\
2 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 & 3 \\
3 & 0 & 4 & 3 & 3 & 4 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 4 \\
0 & 4 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 4 & 3 & 0 & 4 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 2 & 4 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 4 & 0 & 2 & 4
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 4 \\
0 & 1 & 2 & 4 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 0 & 3 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 4 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3
\end{array}\right)
$

Človeku možno napadne otázka, či sa nejako dá urobiť skúška správnosti. (Najmä v prípade, že človek takéto niečo rieši na písomke a ešte má čas kontrolovať si riešenie.) Možno na prvý pohľad by sa zdalo, že sme nedostali žiadne riešenie - nemáme teda čo dosadzovať do skúšky.

Ak sme napríklad upravili celú maticu $3\times7$ na redukovaný stupňovitý tvar, tak preň vieme robiť skúšku. (Samozrejme, na riešenie úlohy sa stačí zastaviť akonáhle dostaneme vľavo nulový riadok a vpravo nenulový - doupravovať maticu na redukovaný tvar môže byť užitočné, ak sa rozhodneme urobiť skúšku takýmto spôsobom.)
Alebo môžeme na redukovaný tvar doupravovať aspoň ľavú časť - a vieme urobiť skúšku aspoň pre tú. (Čo je menej, ako keby sme robili skúšku pre celú maticu - stále ale aspoň niečo.)

Ak sme náhodou počítali tak, že nejaký čas sme používali iba prvé dva riadky (tak to je napríklad v postupe uvedenom vyššie), tak ak ignorujeme tretí riadok, vieme nájsť riešenie. Môžeme teda ako čiastočnú skúšku správnosti či takéto riešenie vyhovuje prvým dvom riadkom.

Alebo si tiež môžeme uvedomiť, že "ľavá matica" v predošlom výpočte nám hovorí, že zadané vektory sú lineárne závislé.
Ak vyriešime jednoduchú sústavu, môžeme aj nájsť aká je medzi nimi závislosť (t.j. nájsť koeficienty pre ktoré lineárna kombinácia dá nulu).

Spoiler:

$\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & 3 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 0 \\
3 & 3 & 4 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 3 & 0 \\
3 & 3 & 4 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 3 & 0 \\
0 & 2 & 4 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$

Riešenia: $[(4,3,1)]=[(1,2,4)]$.

Mali sme teda zadané nejaké vektory také, že $f(\vec x_i)=\vec y_i$. Riešením sústavy sme zistili, že $4\vec x_1+3\vec x_2+\vec x_3=\vec 0$. (A ľahko sa dá skontrolovať, či riešenie sústavy je správne - či táto rovnosť naozaj platí.)
Ak $f$ je lineárne, tak musí platiť aj $4f(\vec x_1)+3f(\vec x_2)+f(\vec x_3)=f(\vec 0)$, t.j. $4\vec y_1+3\vec y_2+\vec y_3=\vec 0$. Táto rovnosť ale neplatí - takže sme ešte aj takýmto spôsobom overili, že lineárne zobrazenie spĺňajúce zadané požiadavky neexistuje.

Tento výpočet v princípe úplne postačuje ako riešenie. Vopred sme ale nevedeli, že úloha nemá riešenie. To znamená, že ak by sme začali rátať takto, pri inak zadaných vektoroch by sa nám mohlo stať, že takýmto postupom zistíme iba to, že riešenie existuje.