V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Ak sa chcete pozrieť, čo som stihol prebrať po minulé roky:
viewtopic.php?t=1400
viewtopic.php?t=1028
viewtopic.php?t=842
viewtopic.php?t=595
viewtopic.php?t=416
Prednášky LS 2019/20
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5683
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2019/20
1. prednáška (17.2.):
Asymptotická hustota. Definícia, základne vlastnosti, rôzne vyjadrenia asymptotickej hustoty. Príklad množiny, ktorá nemá asymptotickú hustotu. Konečná aditívnosť.
Asymptotická hustota. Definícia, základne vlastnosti, rôzne vyjadrenia asymptotickej hustoty. Príklad množiny, ktorá nemá asymptotickú hustotu. Konečná aditívnosť.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5683
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2019/20
2. prednáška (24.2)
Asymptotická hustota. Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.
Ukázali sme vetu hovoriacu, že z $d(A_p)=0$ pre všetky prvočísla vyplýva $d(A)=0$. (Pri dôkaze tejto vety sme si ukázali ako pomocné tvrdenie fakt, že zo $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i=+\infty$, $0<x_i<1$, vyplýva $\prod\limits_{i=1}^\infty (1-x_n)=0$.)
Ako dôsledok tejto vety sme dostali, že množina čísel, ktoré majú najviac $k$ prvočíselných deliteľov, má nulovú hustotu.
Ukázali sme, že množina funkčných hodnôt Eulerovej funkcie má hustotu nula. Z tohoto výsledku vlastne vyplýva, že existuje $n$ také, že $\varphi(x)=n$ nemá riešenie. Wikipédia: Nontotient.
Dokázali sme to však bez toho, že by sme nejaké konkrétne $n$ s touto vlastnosťou našli. V súvislosti s týmto sa možno oplatí spomenúť niečo o existenčných dôkazoch (najmä založených na kardinalite - prinajmenšom také ste už určite videli): viewtopic.php?t=856
Asymptotická hustota. Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.
Ukázali sme vetu hovoriacu, že z $d(A_p)=0$ pre všetky prvočísla vyplýva $d(A)=0$. (Pri dôkaze tejto vety sme si ukázali ako pomocné tvrdenie fakt, že zo $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i=+\infty$, $0<x_i<1$, vyplýva $\prod\limits_{i=1}^\infty (1-x_n)=0$.)
Ako dôsledok tejto vety sme dostali, že množina čísel, ktoré majú najviac $k$ prvočíselných deliteľov, má nulovú hustotu.
Ukázali sme, že množina funkčných hodnôt Eulerovej funkcie má hustotu nula. Z tohoto výsledku vlastne vyplýva, že existuje $n$ také, že $\varphi(x)=n$ nemá riešenie. Wikipédia: Nontotient.
Dokázali sme to však bez toho, že by sme nejaké konkrétne $n$ s touto vlastnosťou našli. V súvislosti s týmto sa možno oplatí spomenúť niečo o existenčných dôkazoch (najmä založených na kardinalite - prinajmenšom také ste už určite videli): viewtopic.php?t=856
-
Martin Sleziak
- Posts: 5683
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2019/20
3. prednáška (2.3)
Asymptotická hustota.
Ukázali sme, že množina funkčných hodnôt funkcie $\sigma(n)$ má hustotu nula.
Ešte sme sa trochu rozprávali o existenčných dôkazoch (najmä založených na kardinalite): viewtopic.php?t=856
Ukázali sme $\limsup \varphi(n)/n=1$ a $\liminf \varphi(n)/n=0$. Limes inferior sa potom dalo použiť na jednoduchší dôkaz $d(\mathbb P)=0$.
Logaritmická hustota. Definícia a základné vlastnosti. Ukázali sme si vzťah medzi logaritmickou a asymptotickou hustotou.
Asymptotická hustota.
Ukázali sme, že množina funkčných hodnôt funkcie $\sigma(n)$ má hustotu nula.
Ešte sme sa trochu rozprávali o existenčných dôkazoch (najmä založených na kardinalite): viewtopic.php?t=856
Ukázali sme $\limsup \varphi(n)/n=1$ a $\liminf \varphi(n)/n=0$. Limes inferior sa potom dalo použiť na jednoduchší dôkaz $d(\mathbb P)=0$.
Logaritmická hustota. Definícia a základné vlastnosti. Ukázali sme si vzťah medzi logaritmickou a asymptotickou hustotou.