V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Tu sa dá pozrieť, čo som stihol prebrať v minulosti:
viewtopic.php?t=1397
viewtopic.php?t=1029
viewtopic.php?t=588
viewtopic.php?t=181
Dohodli sme sa, že hodiny budeme nahrávať, videá by sa mali dať nájsť tu: https://web.microsoftstream.com/group/6 ... 66097bcda6 (A pridal som aj tab s videami v kanáli Prednášky.)
Veci, ktoré píšem počas hodiny, by sa mali dať nájsť medzi súbormi v tom istom kanáli - Teams. Sharepoint
Prednášky LS 2020/21
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2020/21
1. prednáška (15.2):
Na začiatku som sa snažil aspoň trochu naznačiť aké veci zhruba budeme preberať na tomto predmete.
Ako jeden z príkladov som spomenul maticové vyjadrenie pre Fibonacciho čísla. Konkrétne to, ako sa tam dajú využiť vlastné čísla sa dá nájsť v texte k prednáške ako príklad 3.5.1. (Ale možno jednoduchšie je vydržať a počkať, kým budeme mať vybudovaný aparát, ktorý sa tam používa.) Potom sme sa začali venovať skalárnym súčinom, čo je prvá téma tohoto semestra.
Euklidovský vektorový priestor. Definícia vektorového súčinu, príklady, základné vlastnosti. Definícia veľkosti vektora a jej vlastnosti. (Schwarzovu nerovnosť a trojuholníkovú nerovnosť som zatiaľ iba vyslovil, dôkaz bude nabudúce).
Cvičenie: Overenie, či zadaný predpis určuje skalárny súčin. (T.j. úlohy ako príklad 1.1.4, úloha 1.2.2). Úloha 1.2.6 - Pytagorova veta, kosínová veta, rovnobežníkové pravidlo.
Na začiatku som sa snažil aspoň trochu naznačiť aké veci zhruba budeme preberať na tomto predmete.
Ako jeden z príkladov som spomenul maticové vyjadrenie pre Fibonacciho čísla. Konkrétne to, ako sa tam dajú využiť vlastné čísla sa dá nájsť v texte k prednáške ako príklad 3.5.1. (Ale možno jednoduchšie je vydržať a počkať, kým budeme mať vybudovaný aparát, ktorý sa tam používa.) Potom sme sa začali venovať skalárnym súčinom, čo je prvá téma tohoto semestra.
Euklidovský vektorový priestor. Definícia vektorového súčinu, príklady, základné vlastnosti. Definícia veľkosti vektora a jej vlastnosti. (Schwarzovu nerovnosť a trojuholníkovú nerovnosť som zatiaľ iba vyslovil, dôkaz bude nabudúce).
Cvičenie: Overenie, či zadaný predpis určuje skalárny súčin. (T.j. úlohy ako príklad 1.1.4, úloha 1.2.2). Úloha 1.2.6 - Pytagorova veta, kosínová veta, rovnobežníkové pravidlo.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2020/21
2. prednáška (22.2):
Dokončili sme vlastnosti vzdialenosti: Cauchy-Schwarzova nerovnosť a trojuholníková nerovnosť.
Definícia uhla a kolmých vektorov. Nenulové ortogonálne vektory sú lineárne nezávislé.
Ortogonálny doplnok: Definícia. Základné vlastnosti ortogonálneho doplnku. (Je to podpriestor; ortogonálny doplnok obracia inklúzie; ortogonálny doplnok lineárneho obalu; $(S+T)^\bot=S^\bot\cap T^\bot$.
Ortonormálna báza: Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces a existencia ortonormálnej bázy. Každý vektor sa dá jednoznačne zapísať ako súčet vektora z $S$ a vektora z $S^\bot$. (T.j. $V=S\oplus S^\bot$.)
Už som nestihol prerátať konkrétne príklady na hľadanie ortonormálnej bázy - nejaké sú v súbore s poznámkami a pozrieme sa na ne nabudúce.
Dokončili sme vlastnosti vzdialenosti: Cauchy-Schwarzova nerovnosť a trojuholníková nerovnosť.
Definícia uhla a kolmých vektorov. Nenulové ortogonálne vektory sú lineárne nezávislé.
Ortogonálny doplnok: Definícia. Základné vlastnosti ortogonálneho doplnku. (Je to podpriestor; ortogonálny doplnok obracia inklúzie; ortogonálny doplnok lineárneho obalu; $(S+T)^\bot=S^\bot\cap T^\bot$.
Ortonormálna báza: Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces a existencia ortonormálnej bázy. Každý vektor sa dá jednoznačne zapísať ako súčet vektora z $S$ a vektora z $S^\bot$. (T.j. $V=S\oplus S^\bot$.)
Už som nestihol prerátať konkrétne príklady na hľadanie ortonormálnej bázy - nejaké sú v súbore s poznámkami a pozrieme sa na ne nabudúce.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2020/21
3. prednáška (1.3.):
Ortogonálny doplnok: Ortogonálna projekcia. V konečnorozmere platí $V=S\oplus S^\bot$, $S=S^{\bot\bot}$ a $(S\cap T)^\bot=S^\bot+T^\bot$.
Spomenul som, že v nekonečnorozmerných priestoroch to už platiť, ale neukazoval som príklad prečo to nefunguje. Taký kontrapríklad sa dá nájsť v poznámkach k prednáške a aj tu na fóre: viewtopic.php?t=1654
Ortonormálna báza. Ukázali sme si príklad na nájdenie ortonormálnej bázy zadaného podpriestoru v $\mathbb R^4$. (Cez Gram-Schmidtov proces aj pomocou sústav.)
Kvadratické formy. Definícia. Vyjadrenie pomocou symetrickej matice. Kongruentné matice. Každá kvadratická forma sa dá previesť na kanonický tvar. (Všetky kroky dôkazu sme predtým videli na konkrétnych príkladoch.)
Ortogonálny doplnok: Ortogonálna projekcia. V konečnorozmere platí $V=S\oplus S^\bot$, $S=S^{\bot\bot}$ a $(S\cap T)^\bot=S^\bot+T^\bot$.
Spomenul som, že v nekonečnorozmerných priestoroch to už platiť, ale neukazoval som príklad prečo to nefunguje. Taký kontrapríklad sa dá nájsť v poznámkach k prednáške a aj tu na fóre: viewtopic.php?t=1654
Ortonormálna báza. Ukázali sme si príklad na nájdenie ortonormálnej bázy zadaného podpriestoru v $\mathbb R^4$. (Cez Gram-Schmidtov proces aj pomocou sústav.)
Kvadratické formy. Definícia. Vyjadrenie pomocou symetrickej matice. Kongruentné matice. Každá kvadratická forma sa dá previesť na kanonický tvar. (Všetky kroky dôkazu sme predtým videli na konkrétnych príkladoch.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2020/21
4. týždeň (7.3):
Prerátali sme príklad typu "nájdite kanonický tvar" - dvoma spôsobmi, dopĺňaním na štvorec. riadkovými a stĺpcovými úpravami. (A tiež sme si vysvetlili, ako riadkové a stĺpcové úpravy súvisia s týmto problémom.)
Zákon zotrvačnosti. Ukázali sme, že kanonický tvar kvadratickej formy je až na zámenu premenných jednoznačný.
Sylvestrovo kritérium. Ukázali sme si viacero podmienok ekvivalentných s tým, že daná symetrická matica je kladne definitná.
Potom som chvíľu hovoril niečo o tom, ako súvisí kladná (záporná) definitnosť s extrémami funkcií viac premenných. Viac sa o niečom takomto môžete dozvedieť na nejakých analytických predmetoch. Ale pridám aspoň linky na niektoré relevantné články na WP: Second partial derivative test a Hessian matrix. Niečo som napísal aj na fórum v časti k inému predmetu: viewtopic.php?t=1428
Pozreli sme sa na úlohu ako závisí od hodnoty parametra kladná definitnosť danej matice - robili sme konkrétne príklad, ktorý je vyriešený aj tu na fóre: viewtopic.php?t=289
Prerátali sme príklad typu "nájdite kanonický tvar" - dvoma spôsobmi, dopĺňaním na štvorec. riadkovými a stĺpcovými úpravami. (A tiež sme si vysvetlili, ako riadkové a stĺpcové úpravy súvisia s týmto problémom.)
Zákon zotrvačnosti. Ukázali sme, že kanonický tvar kvadratickej formy je až na zámenu premenných jednoznačný.
Sylvestrovo kritérium. Ukázali sme si viacero podmienok ekvivalentných s tým, že daná symetrická matica je kladne definitná.
Potom som chvíľu hovoril niečo o tom, ako súvisí kladná (záporná) definitnosť s extrémami funkcií viac premenných. Viac sa o niečom takomto môžete dozvedieť na nejakých analytických predmetoch. Ale pridám aspoň linky na niektoré relevantné články na WP: Second partial derivative test a Hessian matrix. Niečo som napísal aj na fórum v časti k inému predmetu: viewtopic.php?t=1428
Pozreli sme sa na úlohu ako závisí od hodnoty parametra kladná definitnosť danej matice - robili sme konkrétne príklad, ktorý je vyriešený aj tu na fóre: viewtopic.php?t=289
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2020/21
5. prednáška (15.3):
Matica prechodu. Definícia, matica prechodu opačným smerom, ako sa menia súradnice pri prechode k novej báze.
Matica zobrazenia pri danej báze. Definícia. Súradnice obrazu vektora. Ako vyzerá matica zobrazenia pri prechode k novej báze. Definícia podobnosti matíc.
Cvičenie. Príklad na nájdenie diagonálneho tvaru pre kvadratickú formu v $n$ premenných (t.j. pre symetrickú maticu $n\times n$) - v poznámkach úloha 2.2.3 a príklad 2.3.8.
Matica prechodu. Definícia, matica prechodu opačným smerom, ako sa menia súradnice pri prechode k novej báze.
Matica zobrazenia pri danej báze. Definícia. Súradnice obrazu vektora. Ako vyzerá matica zobrazenia pri prechode k novej báze. Definícia podobnosti matíc.
Cvičenie. Príklad na nájdenie diagonálneho tvaru pre kvadratickú formu v $n$ premenných (t.j. pre symetrickú maticu $n\times n$) - v poznámkach úloha 2.2.3 a príklad 2.3.8.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2020/21
6. prednáška (22.3.):
Podobnosť s diagonálnou maticou. Vlastné čísla, vlastné vektory, definícia charakteristického polynómu. Matica je podobná s diagonálnou práve vtedy, keď existuje báza zložená z vlastných vektorov. Vlastné vektory k rôznymi vlastným číslam sú lineárne nezávislé. Podobné matice majú rovnaký charakteristický polynóm (a teda rovnaké vlastné čísla, determinant, stopu).
Cvičenie. Podobnosť matíc je relácia ekvivalencie (úloha 3.1.1), našli sme aké matice sú podobné s nulovou maticou a s maticou $cI$ (úlohy 3.1.3 a 3.1.5). Úloha o podobnosti $AB$ a $BA$ (úloha 3.1.4).
Úloha 3.2.10: Pre danú maticu nájsť regulárnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, aby platilo $PAP^{-1}=D$.
Podobnosť s diagonálnou maticou. Vlastné čísla, vlastné vektory, definícia charakteristického polynómu. Matica je podobná s diagonálnou práve vtedy, keď existuje báza zložená z vlastných vektorov. Vlastné vektory k rôznymi vlastným číslam sú lineárne nezávislé. Podobné matice majú rovnaký charakteristický polynóm (a teda rovnaké vlastné čísla, determinant, stopu).
Cvičenie. Podobnosť matíc je relácia ekvivalencie (úloha 3.1.1), našli sme aké matice sú podobné s nulovou maticou a s maticou $cI$ (úlohy 3.1.3 a 3.1.5). Úloha o podobnosti $AB$ a $BA$ (úloha 3.1.4).
Úloha 3.2.10: Pre danú maticu nájsť regulárnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, aby platilo $PAP^{-1}=D$.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2020/21
7. týždeň (29.3.):
Ortogonálna podobnosť. Zadefinovali sme ortogonálne matice a ortogonálnu podobnosť. Dokázali sme Schurovu vetu a tiež to, že reálna symetrická matica má všetky vlastné hodnoty reálne. Z toho sme už dostali vetu o hlavných osiach.
Pozreli sme sa na príklad typu typu: Pre danú reálnu symetrickú maticu nájsť regulárnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, aby platilo $PAP^{-1}=PAP^T= D$.
Ešte sme ukázali, že pri symetrickej matici sú vlastné vektory prislúchajúce rôznym vlastným číslam na seba kolmé: viewtopic.php?t=1691
Ortogonálne matice. Transformácie zodpovedajúce ortogonálnym maticiam zachovávajú uhly (a teda aj veľkosť, kolmosť, uhol).
Povedali sme si ako vyzerajú ortogonálne matice $2\times2$ a že zodpovedajúce transformácie sú rotácie a zloženia rotácie s osovou symetriou. (Zatiaľ sme si povedali geometrickú interpretáciu, ktorá vedie k niečomu takémuto. Môžeme sa niekedy vrátiť k algebraickému odvodeniu.)
Momentálne už máme prebraté všetky veci, ktoré budú na písomke - dohodli sme sa, že bude nabudúce (t.j. o dva týždne): viewtopic.php?t=1662
Ortogonálna podobnosť. Zadefinovali sme ortogonálne matice a ortogonálnu podobnosť. Dokázali sme Schurovu vetu a tiež to, že reálna symetrická matica má všetky vlastné hodnoty reálne. Z toho sme už dostali vetu o hlavných osiach.
Pozreli sme sa na príklad typu typu: Pre danú reálnu symetrickú maticu nájsť regulárnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, aby platilo $PAP^{-1}=PAP^T= D$.
Ešte sme ukázali, že pri symetrickej matici sú vlastné vektory prislúchajúce rôznym vlastným číslam na seba kolmé: viewtopic.php?t=1691
Ortogonálne matice. Transformácie zodpovedajúce ortogonálnym maticiam zachovávajú uhly (a teda aj veľkosť, kolmosť, uhol).
Povedali sme si ako vyzerajú ortogonálne matice $2\times2$ a že zodpovedajúce transformácie sú rotácie a zloženia rotácie s osovou symetriou. (Zatiaľ sme si povedali geometrickú interpretáciu, ktorá vedie k niečomu takémuto. Môžeme sa niekedy vrátiť k algebraickému odvodeniu.)
Momentálne už máme prebraté všetky veci, ktoré budú na písomke - dohodli sme sa, že bude nabudúce (t.j. o dva týždne): viewtopic.php?t=1662
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2020/21
5.4. bol štátny sviatok.
12.4. sme písali písomku - prednáška bola po písomke, tá už bola kratšia.
9. týždeň (12.4.)
Cayley-Hamiltonova veta.
Dokázali sme Cayley-Hamiltonovu vetu.
Pozreli sme sa na ňu na príklade matice $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$. (Spomenul som, že táto matica súvisí s Fibonacciho postupnosťou. Tu sme opäť pripomenuli rýchlejší výpočet mocniny pre čísla/matice - Exponentiation by squaring.)
Videli sme aj to, že s prváckymi vedomosťami vieme ukázať že nejaký polynóm stupňa najviac $n^2$ nuluje maticu $A$; tu však máme oveľa lepší výsledok- stupeň nášho polynómu je oveľa nižší a dostali sme takýto výsledok pre polynóm úzko súvisiaci so zadanou maticou, konkrétne charakteristický polynóm.
(Z kapitoly 3.2 som nehovoril o spektrálnom rozklade matice - k nemu sa vrátim neskôr.)
12.4. sme písali písomku - prednáška bola po písomke, tá už bola kratšia.
9. týždeň (12.4.)
Cayley-Hamiltonova veta.
Dokázali sme Cayley-Hamiltonovu vetu.
Pozreli sme sa na ňu na príklade matice $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$. (Spomenul som, že táto matica súvisí s Fibonacciho postupnosťou. Tu sme opäť pripomenuli rýchlejší výpočet mocniny pre čísla/matice - Exponentiation by squaring.)
Videli sme aj to, že s prváckymi vedomosťami vieme ukázať že nejaký polynóm stupňa najviac $n^2$ nuluje maticu $A$; tu však máme oveľa lepší výsledok- stupeň nášho polynómu je oveľa nižší a dostali sme takýto výsledok pre polynóm úzko súvisiaci so zadanou maticou, konkrétne charakteristický polynóm.
(Z kapitoly 3.2 som nehovoril o spektrálnom rozklade matice - k nemu sa vrátim neskôr.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2020/21
10. týždeň (19.4.)
Jordanov normálny tvar. Povedali sme si ako vyzerá Jordanov normálny tvar a vyslovili (bez dôkazu) vetu o tom, že každá štvorcová matica nad poľom $\mathbb C$ je podobná s nejakou maticou v Jordanovom tvare (jednoznačne určenou až na poradie Jordanových blokov).
Ukázali sme si dva rôzne spôsoby výpočty Jordanovej matice (aj matice prechodu) na príklade rozmerov $5\times5$. (Väčší rozmer som volil najmä kvôli tomu, aby tam bolo viacero možností, ako môže vyzerať Jordanov tvar.)
Potom sme sa ešte vrátili ku príkladom, ktoré boli na písomke.
Jordanov normálny tvar. Povedali sme si ako vyzerá Jordanov normálny tvar a vyslovili (bez dôkazu) vetu o tom, že každá štvorcová matica nad poľom $\mathbb C$ je podobná s nejakou maticou v Jordanovom tvare (jednoznačne určenou až na poradie Jordanových blokov).
Ukázali sme si dva rôzne spôsoby výpočty Jordanovej matice (aj matice prechodu) na príklade rozmerov $5\times5$. (Väčší rozmer som volil najmä kvôli tomu, aby tam bolo viacero možností, ako môže vyzerať Jordanov tvar.)
Potom sme sa ešte vrátili ku príkladom, ktoré boli na písomke.