Vlastné vektory k rôznym vlastným hodnotám pre reálnu symetrickú maticu sú na seba kolmé

[Martin Sleziak]

Riešili sme nejaké úlohy týkajúce sa ortogonálnej podobnosti - pre danú symetrickú maticu $A$ chceme ortogonálnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, aby platilo
$$PAP^{-1}=PAP^T=D.$$
To znamená, že v matici $P$ chceme mať ako riadky jej vlastné vektory. Navyše chceme, aby tieto vektory boli na seba kolmé a mali dĺžku $1$. (Tým dosiahneme, aby matica $P$ bola ortogonálna.)

Pri takýchto príkladoch si je dobré uvedomiť, že vlastné vektory k rôznym vlastným hodnotám nutne musia byť na seba kolmé. (Stále sa nám môže stať to, že máme násobnú vlastnú hodnotu - tam budeme musieť trochu pracovať na tom, aby boli )

Tvrdenie: Ak $A$ je reálna symetrická matica a $\vec x$, $\vec y$ sú vlastné vektory k rôznym vlastným číslam matice $A$, tak $\vec x\perp\vec y$.

Skúsim napísať začiatok dôkazu - s tým, že si z hintu, ktorý je "odkrytý" môžete skúsiť

Dôkaz. Nech $\vec x$ je vlastný vektor matice $A$ k vlastnej hodnote $\lambda_1$, $\vec y$ je vlastný vektor k $\lambda_2$, pričom $\boxed{\lambda_1\ne\lambda_2}$.
Chceme ukázať, že $\langle\vec x,\vec y\rangle=\vec0$.

Hint:

Spoiler:

Skúste nejako upravovať výraz $\vec xA\vec y^T$.

Celý dôkaz:

Spoiler:

Pretože $A$ je symetrická, máme $\vec xA\vec y^T=\vec xA^T\vec y^T$. Tento výraz môžeme upraviť dvoma spôsobmi:
\begin{align*}
\vec xA\vec y^T&=(\vec xA)\vec y^T=\langle \vec xA,\vec y\rangle =\langle \lambda_1\vec x,\vec y\rangle =\lambda_1\langle \vec x,\vec y\rangle\\
\vec xA^T\vec y^T&=\vec x (\vec yA)^T=\langle \vec x,\vec yA\rangle =\langle \vec x,\lambda_2\vec y\rangle =\lambda_2\langle \vec x,\vec y\rangle
\end{align*}
Dostali sme teda
\begin{gather*}
\lambda_1\langle \vec x,\vec y\rangle=\lambda_2\langle \vec x,\vec y\rangle\\
(\lambda_1-\lambda_2)\langle \vec x,\vec y\rangle=0\\
\langle \vec x,\vec y\rangle=0
\end{gather*}
Teda $\vec x$ a $\vec y$ sú skutočne navzájom kolmé.

$\square$

[Martin Sleziak]

Ešte doplním k literatúre, ktorú máte k dispozícii. Nenašiel som v Korbaš-Gyurki úplne presne túto vetu. Ak sa ale pozriete na dôkaz vety 16.4, tak je to presne argument, ktorý je napísaný vyššie. Rozdiel je ten, že táto veta hovorí iba o prípade, keď sú všetky vlastné hodnoty rôzne.

Veta 16.4. Nech $A = A^T\in M_{n,n}(\mathbb R)$ je taká, že jej vlastné hodnoty $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ sú navzájom rôzne. Nech $\vec x_1,\ldots,\vec x_n$ sú jednotkové vlastné vektory, prislúchajúce v tom istom poradí k $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ . Potom $\vec x_1,\ldots,\vec x_n$$\vec x_1,\ldots,\vec x_n\in\mathbb R^n$ tvoria ortonormálny systém v $\mathbb R^n$ a môžeme ich zobrať ako riadky matice $\mathbf C \in O(n)$ z vety o hlavných osiach.