V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Ak sa chcete pozrieť, čo som stihol prebrať po minulé roky:
viewtopic.php?t=1771
viewtopic.php?t=1491
viewtopic.php?t=1400
viewtopic.php?t=1028
viewtopic.php?t=842
viewtopic.php?t=595
viewtopic.php?t=416
Prednášky LS 2022/23 - teória čísel
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23 - teória čísel
1. prednáška (14.2.):
Asymptotická hustota. Definícia, základne vlastnosti, rôzne vyjadrenia asymptotickej hustoty. Príklad množiny, ktorá nemá asymptotickú hustotu. Konečná aditívnosť.
Popritom sme aj pripomenuli niektoré veci o limes superior a limes inferior.
Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.
Asymptotická hustota. Definícia, základne vlastnosti, rôzne vyjadrenia asymptotickej hustoty. Príklad množiny, ktorá nemá asymptotickú hustotu. Konečná aditívnosť.
Popritom sme aj pripomenuli niektoré veci o limes superior a limes inferior.
Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23 - teória čísel
2. prednáška (21.2)
Asymptotická hustota. Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.
Ukázali sme vetu hovoriacu, že z $d(A_p)=0$ pre všetky prvočísla vyplýva $d(A)=0$. (Pri dôkaze tejto vety sme si ukázali ako pomocné tvrdenie fakt, že zo $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i=+\infty$, $0<x_i<1$, vyplýva $\prod\limits_{i=1}^\infty (1-x_n)=0$.)
Z toho sme dostali, že $d(\mathbb P)=0$, t.j. prvočísla majú nulovú asymptotickú hustotu. (A ešte si nabudúce ukážeme nejaký iný dôsledok tej istej vety.)
Ukázali sme, že množina čísel, ktoré majú nanajvýš $k$ prvočíselných deliteľov, má hustotu nula.
Pomocou toho sme dostali, že množina funkčných hodnôt Eulerovej funkcie má hustotu nula.
Z tohto výsledku vlastne vyplýva, že existuje $n$ také, že $\varphi(x)=n$ nemá riešenie. Wikipédia: Nontotient. (A aj to, že takých čísel existuje v istom zmysle "veľa". Napríklad aj to, že určite existujú párne čísla s touto vlastnosťou.)
Dokázali sme to však bez toho, že by sme nejaké konkrétne $n$ s touto vlastnosťou našli. V súvislosti s týmto som potom chvíľu hovoril niečo o existenčných dôkazoch (najmä založených na kardinalite): viewtopic.php?t=856
Asymptotická hustota. Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.
Ukázali sme vetu hovoriacu, že z $d(A_p)=0$ pre všetky prvočísla vyplýva $d(A)=0$. (Pri dôkaze tejto vety sme si ukázali ako pomocné tvrdenie fakt, že zo $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i=+\infty$, $0<x_i<1$, vyplýva $\prod\limits_{i=1}^\infty (1-x_n)=0$.)
Z toho sme dostali, že $d(\mathbb P)=0$, t.j. prvočísla majú nulovú asymptotickú hustotu. (A ešte si nabudúce ukážeme nejaký iný dôsledok tej istej vety.)
Ukázali sme, že množina čísel, ktoré majú nanajvýš $k$ prvočíselných deliteľov, má hustotu nula.
Pomocou toho sme dostali, že množina funkčných hodnôt Eulerovej funkcie má hustotu nula.
Z tohto výsledku vlastne vyplýva, že existuje $n$ také, že $\varphi(x)=n$ nemá riešenie. Wikipédia: Nontotient. (A aj to, že takých čísel existuje v istom zmysle "veľa". Napríklad aj to, že určite existujú párne čísla s touto vlastnosťou.)
Dokázali sme to však bez toho, že by sme nejaké konkrétne $n$ s touto vlastnosťou našli. V súvislosti s týmto som potom chvíľu hovoril niečo o existenčných dôkazoch (najmä založených na kardinalite): viewtopic.php?t=856
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23 - teória čísel
3. prednáška (28.2)
Asymptotická hustota.
Ukázali sme $\limsup \varphi(n)/n=1$ a $\liminf \varphi(n)/n=0$. Limes inferior sa potom dalo použiť na jednoduchší dôkaz $d(\mathbb P)=0$.
Logaritmická hustota.
Ukázali sme príklad množiny, ktorá má logaritmickú hustotu, ale nemá asymptotickú hustotu.
Ako pomocné tvrdenie na výpočty v tomto príklade sme odvodili Stolzovu-Cesarovu vetu. Táto veta sa do istej miery podobá na L'Hospitalovo pravidlo.
Nejaké príklady, v ktorých sa dá použiť táto veta, sú aj v poznámkach. Ale viac (a zaujímavejších) príkladov, kde sa dá táto veta použiť nájdete na linkách uvedených tu. Spomenuli sme, že Stolz-Cesarova veta vyzerá v podstate ako "L'Hospital pre postupnosti". Nejaké ďalšie diskrétne analógie výsledkov pre integrál/deriváciu nájdete tu.
(Preskočil som časť o Schnireľmannovej hustote. Vrátim sa k nej neskôr, keď sa budeme zaoberať aditívnymi vlastnosťami podmnožín $\mathbb N$.)
Asymptotická hustota.
Ukázali sme $\limsup \varphi(n)/n=1$ a $\liminf \varphi(n)/n=0$. Limes inferior sa potom dalo použiť na jednoduchší dôkaz $d(\mathbb P)=0$.
Logaritmická hustota.
Ukázali sme príklad množiny, ktorá má logaritmickú hustotu, ale nemá asymptotickú hustotu.
Ako pomocné tvrdenie na výpočty v tomto príklade sme odvodili Stolzovu-Cesarovu vetu. Táto veta sa do istej miery podobá na L'Hospitalovo pravidlo.
Nejaké príklady, v ktorých sa dá použiť táto veta, sú aj v poznámkach. Ale viac (a zaujímavejších) príkladov, kde sa dá táto veta použiť nájdete na linkách uvedených tu. Spomenuli sme, že Stolz-Cesarova veta vyzerá v podstate ako "L'Hospital pre postupnosti". Nejaké ďalšie diskrétne analógie výsledkov pre integrál/deriváciu nájdete tu.
(Preskočil som časť o Schnireľmannovej hustote. Vrátim sa k nej neskôr, keď sa budeme zaoberať aditívnymi vlastnosťami podmnožín $\mathbb N$.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23 - teória čísel
4. prednáška (7.3)
Štatistická konvergencia.
Definícia. Spomenul som, že sa takýto typ konvergencie dá zovšeobecniť na konvergenciu vzhľadom na nejaký filter. (V našom prípade je $\mathcal F_d=\{A\subseteq\mathbb N; d(A)=1\}$.)
Vzťah štatistickej konvergencie a konvergencie postupnosti aritmetických priemerov.
Dokázali sme Abel-Pringsheim-Olivierovu vetu a jej zovšeobecnenie pre štatistickú konvergenciu. V súvislosti s históriou tejto vety pridám takúto linku: viewtopic.php?t=964
Okrem toho sme dokázali vetu, že postupnosť konverguje štatisticky práve vtedy, keď existuje množina hustoty 1, pre ktorú konverguje príslušná podpostupnosť. (Pridám aj linku na článok, kde je táto veta dokázaná https://dml.cz/handle/10338.dmlcz/136236.)
Štatistická konvergencia.
Definícia. Spomenul som, že sa takýto typ konvergencie dá zovšeobecniť na konvergenciu vzhľadom na nejaký filter. (V našom prípade je $\mathcal F_d=\{A\subseteq\mathbb N; d(A)=1\}$.)
Vzťah štatistickej konvergencie a konvergencie postupnosti aritmetických priemerov.
Dokázali sme Abel-Pringsheim-Olivierovu vetu a jej zovšeobecnenie pre štatistickú konvergenciu. V súvislosti s históriou tejto vety pridám takúto linku: viewtopic.php?t=964
Okrem toho sme dokázali vetu, že postupnosť konverguje štatisticky práve vtedy, keď existuje množina hustoty 1, pre ktorú konverguje príslušná podpostupnosť. (Pridám aj linku na článok, kde je táto veta dokázaná https://dml.cz/handle/10338.dmlcz/136236.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23 - teória čísel
5. prednáška (14.3.)
Lineárne diofantické rovnice. Pripomenuli sme si, ako sa riešia lineárne kongruencie a ukázali, že rovnakým spôsobom vieme riešiť lineárne diofantické rovnice tvaru $ax+by=c$.
Pytagorovské trojice. Ukázali sme, ako vyzerajú všetky riešenia rovnice $x^2+y^2=z^2$ v prirodzených číslach.
Rovnica $x^4+y^4=z^4$. Dokázali sme neexistenciu riešení rovníc $x^4+y^4=z^2$ a $x^4+y^2=z^4$ v prirodzených číslach.
Lineárne diofantické rovnice. Pripomenuli sme si, ako sa riešia lineárne kongruencie a ukázali, že rovnakým spôsobom vieme riešiť lineárne diofantické rovnice tvaru $ax+by=c$.
Pytagorovské trojice. Ukázali sme, ako vyzerajú všetky riešenia rovnice $x^2+y^2=z^2$ v prirodzených číslach.
Rovnica $x^4+y^4=z^4$. Dokázali sme neexistenciu riešení rovníc $x^4+y^4=z^2$ a $x^4+y^2=z^4$ v prirodzených číslach.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23 - teória čísel
6. prednáška (21.3.)
Deliteľnosť v oboroch integrity a euklidovské okruhy. Z tejto časti som len zadefinoval základné pojmy (deliteľnosť, asociovanosť, delitele jednotky, najväčší spoločný deliteľ, ireducibilné prvky). Definoval som euklidovský okruh a okruh s jednoznačným rozkladom. fakt, že každý euklidovský okruh je okruhom s jednoznačným rozkladom som len povedal bez dôkazu. (Sú to vlastne veci, ktoré ste už predtým videli na Algebre 2.)
Okruhy $\mathbb Z\left[i\right]$ a $\mathbb Z[\omega]$. Zadefinovali sme $\mathbb Z\left[i\right]$ a $\mathbb Z[\omega]$, t.j. gaussovské a eisensteinovské celé čísla. O týchto okruhoch sme dokázali, že sú to Euklidovské okruhy. Ukázali sme si, ako vyzerajú delitele jednotky v týchto okruhoch.
Okruh $\mathbb Z\left[i\right]$ a pytagorovské trojice. Ešte sme videli, ako sa okruh $\mathbb Z\left[i\right]$ dá použiť na to, aby sme našli primitívne pytagorovské trojice. (Dôkaz sa dá nájsť napríklad v knihe Andreescu, Andrica, Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations - v určite aj na mnohých iných miestach. V tejto knihe sa dajú nájsť aj nejaké ďalšie príklady použitia $\mathbb Z\left[i\right]$ pri riešení diofantických rovníc.)
Deliteľnosť v oboroch integrity a euklidovské okruhy. Z tejto časti som len zadefinoval základné pojmy (deliteľnosť, asociovanosť, delitele jednotky, najväčší spoločný deliteľ, ireducibilné prvky). Definoval som euklidovský okruh a okruh s jednoznačným rozkladom. fakt, že každý euklidovský okruh je okruhom s jednoznačným rozkladom som len povedal bez dôkazu. (Sú to vlastne veci, ktoré ste už predtým videli na Algebre 2.)
Okruhy $\mathbb Z\left[i\right]$ a $\mathbb Z[\omega]$. Zadefinovali sme $\mathbb Z\left[i\right]$ a $\mathbb Z[\omega]$, t.j. gaussovské a eisensteinovské celé čísla. O týchto okruhoch sme dokázali, že sú to Euklidovské okruhy. Ukázali sme si, ako vyzerajú delitele jednotky v týchto okruhoch.
Okruh $\mathbb Z\left[i\right]$ a pytagorovské trojice. Ešte sme videli, ako sa okruh $\mathbb Z\left[i\right]$ dá použiť na to, aby sme našli primitívne pytagorovské trojice. (Dôkaz sa dá nájsť napríklad v knihe Andreescu, Andrica, Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations - v určite aj na mnohých iných miestach. V tejto knihe sa dajú nájsť aj nejaké ďalšie príklady použitia $\mathbb Z\left[i\right]$ pri riešení diofantických rovníc.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23 - teória čísel
7. prednáška (28.3.)
Dôkaz neexistencie netriviálnych riešení rovnice $x^3+y^3=z^3$ v $\mathbb Z$. (Resp. netriviálnych riešení $x^3+y^3=uz^3$ v $\mathbb Z[\omega]$, kde $u$ je nejaký deliteľ jednotky.)
Koho by zaujímal dôkaz elementárnejšími metódami (bez využitia okruhu $\mathbb Z[\omega]$, tak je naznačený na Wikipédii, kde sa dajú nájsť aj odkazy na literatúru. (Je detailne spravený napríklad v Ribenboimovej knihe.)
Dôkaz neexistencie netriviálnych riešení rovnice $x^3+y^3=z^3$ v $\mathbb Z$. (Resp. netriviálnych riešení $x^3+y^3=uz^3$ v $\mathbb Z[\omega]$, kde $u$ je nejaký deliteľ jednotky.)
Koho by zaujímal dôkaz elementárnejšími metódami (bez využitia okruhu $\mathbb Z[\omega]$, tak je naznačený na Wikipédii, kde sa dajú nájsť aj odkazy na literatúru. (Je detailne spravený napríklad v Ribenboimovej knihe.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23 - teória čísel
8. prednáška (4.4.)
Schnireľmannova hustota. Definícia a základné vlastnosti. Ukázali sme si dva odhady pre $\sigma(A+B)$ (Schnireľmannova vetu a Mannovu vetu; druhú z nich len bez dôkazu.)
Aditívne bázy. Ukázali sme, že ak $\sigma(A)>0$, tak $A$ je aditívna báza množiny $\mathbb N$.
Súčty dvoch štvorcov. Ukázali sme si Fibonacciho identitu. Popísali sme, ktoré prvočísla sa dajú získať ako súčet dvoch štvorcov.
Schnireľmannova hustota. Definícia a základné vlastnosti. Ukázali sme si dva odhady pre $\sigma(A+B)$ (Schnireľmannova vetu a Mannovu vetu; druhú z nich len bez dôkazu.)
Aditívne bázy. Ukázali sme, že ak $\sigma(A)>0$, tak $A$ je aditívna báza množiny $\mathbb N$.
Súčty dvoch štvorcov. Ukázali sme si Fibonacciho identitu. Popísali sme, ktoré prvočísla sa dajú získať ako súčet dvoch štvorcov.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23 - teória čísel
11.4. bolo dekanské voľno
9. prednáška (18.4.)
Súčty dvoch štvorcov. Charakterizovali sme čísla, ktoré sa dajú napísať ako súčet dvoch druhých mocnín celých čísel.
Počet rozkladov na súčet dvoch štvorcov. Ukázali sme si, koľko je rozkladov daného čísla na súčet 2 štvorcov. Pri tom sme využili, popis ireducibilných prvkov v okruhu $\mathbb Z [ i ]$, t.j. gaussovských prvočísel.
9. prednáška (18.4.)
Súčty dvoch štvorcov. Charakterizovali sme čísla, ktoré sa dajú napísať ako súčet dvoch druhých mocnín celých čísel.
Počet rozkladov na súčet dvoch štvorcov. Ukázali sme si, koľko je rozkladov daného čísla na súčet 2 štvorcov. Pri tom sme využili, popis ireducibilných prvkov v okruhu $\mathbb Z [ i ]$, t.j. gaussovských prvočísel.