DU LS 2023/24

[Martin Sleziak]

Keď si to niektoré úlohy budú vyžadovať, otvorím k nim samostatný topic - ale prvá úloha je dosť jednoduchá na to, že sa zmestí sem.

Niečo k du01.

Koľko sa dá zostaviť $5$-ciferných kódov používajúcich číslice $\{0,1,2,\dots,9\}$ takých, kde sa práve jedna cifra opakuje dvakrát (a všetky ostatné sú rôzne).

T.j. napríklad $01023$, $22469$, $12341$ sú možnosti, ktoré chceme započítať. Ale možnosti ako $12345$, $01234$ nepočítame (neopakuje sa nič), takisto ani $00112$, $01210$ (dve opakujúce sa cifry) a ani $82818$, $24144$ (tu sú tri opakovania niektorej cifry).

Výsledok aj vyčíslite. (T.j. nenechajte ho iba v tvare súčinu či súčtu nejakých výrazov zložených z binomických koeficientov, faktoriálov a podobne.)

$10$ výberov opakujúcej sa cifry, $\binom52$ výberov pre pozície tejto cifry, $9\cdot8\cdot7$ možností pre ostatné cifry, teda celkovo $\binom52\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7$.
Výsledok je $10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot5\cdot2=\boxed{50400}$

Máme štandardný balíček $52$ kariet (t.j. $\{A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K\}\times\{\clubsuit, \diamondsuit,\spadesuit, \heartsuit\}$). Koľkými spôsobmi sa dá vybrať $10$ kariet tak, aby sme všetky karty mali rôznej hodnoty. (T.j. nevyskytnú sa dve esá, dve dvojky, atď.)

V tejto úlohe stačí nejaké vyjadrenie pomocou binomických koeficientov, faktoriálov, mocnín a podobne.

Výsledok je $\binom{13}{10}4^{10}=\binom{13}{3}4^{10}=\frac{13\cdot12\cdot11\cdot4^{10}}6=13\cdot11\cdot2^{21}$.
Máme $\binom{13}{10}$ výberov pre hodnotu kariet a potom pre každú hodnotu máme $4$ možnosti

Iná možnosť: Postupne ťaháme $10$ kariet, vždy po vytiahnutí jednej z~nich sa počet možností zmenší o štyri. Ak by sme brali ohľad aj na poradie, tak máme $52\cdot48\cdot44\cdot40\cdot36\cdot32\cdot28\cdot26\cdot24\cdot20=4^{10}13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4$. Pretože nám na poradí nezáleží, ešte chceme tento výsledok vydeliť $10!$ a dostaneme ten istý výsledok ako vyššie: $4^{10}\cdot\frac{13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{10!}=4^{10}\cdot\binom{13}{10}$.

[Martin Sleziak]

K du02.pdf som dal samostatné topicy: viewtopic.php?t=2059 a viewtopic.php?t=2059

Sumy z du03.pdf majú pomerne stručné riešenie.

Nech $n,m\in\mathbb N_0$ a $0\le m\le n$. Dokážte, že
$$\sum_{k=0}^m \binom nk\binom{n-k}{m-k}=2^m\binom nm.$$

Platí $\binom nk\binom{n-k}{m-k}=\binom nm\binom mk$ a
\begin{align*}
S&=\sum_{k=0}^m \binom nk\binom{n-k}{m-k}\\
&=\sum_{k=0}^m \binom nm\binom mk\\
&=\binom nm\sum_{k=0}^m \binom mk\\
&=\binom nm2^m
\end{align*}

Nech $n,m\in\mathbb N_0$ a $0\le m\le n$. Dokážte, že
$$\sum_{k=0}^n \binom nk \binom km = \binom nm 2^{n-m}.$$

Platí $\binom nk \binom km=\binom nm\binom{n-m}{k-m}$. Pomocou tejto rovnosti dostaneme:
\begin{align*}
S&=\sum_{k=0}^n \binom nk \binom km\\
&=\sum_{k=m}^n \binom nk \binom km\\
&=\sum_{k=m}^n \binom nm\binom{n-m}{k-m}\\
&=\binom nm \sum_{k=m}^n \binom{n-m}{k-m}\\
&=\binom nm \sum_{j=0}^{n-m} \binom{n-m}j\\
&=\binom nm 2^{n-m}
\end{align*}

[Martin Sleziak]

K du04.pdf som dal pre počet riešení rovníc samostatný topic: viewtopic.php?t=2065

V druhej úlohe pomocou PIE chceme vyjadriť $X\setminus(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)$, kde $X$ označuje počet všetkých výberov 13 kariet a množiny $A_1,\ldots, A_4$ označujú také výbery výbery, kde chýba $\clubsuit$, $\diamondsuit$, $\spadesuit$ resp. $\heartsuit$.
$$\binom{52}{13}-4\binom{39}{13}+6\binom{26}{13}-4\binom{13}{13}$$