$\newcommand{\skal}[2]{\langle{\vec{#1}},{\vec{#2}}\rangle}\newcommand{\skl}[2]{\langle{#1},{#2}\rangle}$Pre daný podpriestor $S$ priestoru $\mathbb R^4$ nájdite ortonormálnu bázu. (Pracujeme so štandardným skalárnym súčinom na $\mathbb R^4$.)
$$S=[(1,1,1,1),(2,1,1,2),(3,0,1,1),(3,-1,0,1)]$$
Nejaké vyriešené príklady takéhoto typu nájdete v texte k prednáške alebo aj na fóre:
viewtopic.php?t=852
viewtopic.php?t=1954
viewtopic.php?t=604
Aj tak napíšem aj niečo k príkladu z písomky.
Úpravou na redukovaný tvar vieme dostať bázu podpriestoru $S$.
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 2 \\
3 & 0 & 1 & 1 \\
3 &-1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim\dots\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 &-2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$
Spoiler:
Môže byť takisto užitočné, že v priebehu výpočtu sme dostali vektory $(1,0,0,1)$ a $(0,1,1,0)$, ktoré už sú na seba kolmé - ak využijeme bázu, ktorá obsahuje tieto vektory, tak už aspoň nejaké kolmé vektory máme.
Podpriestor $S$ môžeme teda vygenerovať napríklad takýmito trojicami vektorov:
\begin{align*}
S
&=[(1,0,0,1),(0,1,0,2),(0,0,1,-2)]\\
&=[(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,0,1,-2)]
\end{align*}
Chceme teraz vyrobiť nejakú inú bázu pre $S$, kde už vektory budú na seba kolmé. (A potom ich budeme chcieť ešte vynormovať.)
Na to sme si ukázali viaceré spôsoby.
Gram-Schmidtov proces
Vezmeme si niektorú bázu pre $S$ a použijeme pre ňu Gram-Schmidtov proces.
Výsledok, ktorý dostaneme, závisí od toho s akou bázou sme začali.
Pripomeniem, že ak by sme použili GS proces na vektory, ktoré sú lineárne závislé, tak dostaneme v niektorom kroku nulový vektor. (Spomínam to hlavne preto, že niektorí z vás použili GS priamo na vektory zo zadania.)
Čiže takýto postup sa dá použiť aj ak nemáme bázu - ale asi je výhodnejšie si zadané vektory upraviť a začať s bázou. (Jednak v prípade lineárne závislých vektorov sme znížili počet vektorov - takže budem mať menej výpočtov. Navyše ak pracujeme s kratšími vektormi, tak dostaneme menšie čísla v menovateli. A súčasne nám úprava na redukovaný tvar dáva pomerne jenoduchý postup ako overiť, či niektorý vektor patrí do $S$ - takže pre vektory, ktoré sme dostali, vieme urobiť skúšku správnosti.)
Napríklad ak začnem s druhou z báz, ktoré sme spomenuli vyššie, tak prvé dva vektory sú už navzájom kolmé.
\begin{align*}
\vec\beta_1=\vec\alpha_1&=(1,0,0,1)\\
\vec\beta_2=\vec\alpha_2&=(0,1,1,0)
\end{align*}
Zostáva nám ešte vypočítať tretí vektor
\begin{align*}
\vec\beta_3&=\vec\alpha_3-\frac{\skal{\beta_1}{\alpha_3}}{\skal{\beta_1}{\beta_1}}\vec\alpha_1-\frac{\skal{\beta_2}{\alpha_3}}{\skal{\beta_2}{\beta_2}}\vec\beta_2\\
&=(0,0,1,-2)+(1,0,0,1)-\frac12(0,1,1,0)\\
&=(1,-\frac12,\frac12,-1)=\frac12(2,-1,1,-2)
\end{align*}
Samozrejme, ak vektor prenásobíme nenulovou konštantou, tak neovplyvníme ani lineárnu nezávislosť a ani to, že vektory sú na seba kolmé. Takže v ďalších výpočtoch pokojne môžeme používať aj vektor $2\vec\beta_2=(2,-1,1,-2)$.
Ale jediné, čo teraz zostáva, je už len tieto vektory vydeliť ich veľkosťou:
\begin{align*}
\vec\gamma_1&=\frac1{\sqrt2}(1,0,0,1)\\
\vec\gamma_2&=\frac1{\sqrt2}(0,1,1,0)\\
\vec\gamma_3&=\frac1{\sqrt{10}}(2,-1,1,-2)
\end{align*}
Ak by sme urobili GS proces s bázou, ktorá nám vyšla úpravou na redukovaný tvar, tak už nemáme dvojicu kolmých vektorov - ale výpočty nie sú oveľa ťažšie.
Stále máme $\vec\beta_1=\vec\alpha_1=(1,0,0,1)$.
\begin{align*}
\vec\beta_2&=\vec\alpha_2-\frac{\skal{\beta_1}{\alpha_2}}{\skal{\beta_1}{\beta_1}}\vec\beta_1\\
&=(0,1,0,2)-(1,0,0,1)\\
&=(-1,1,0,1)
\end{align*}
\begin{align*}
\vec\beta_3&=\vec\alpha_3-\frac{\skal{\beta_1}{\alpha_3}}{\skal{\beta_1}{\beta_1}}\vec\alpha_1-\frac{\skal{\beta_2}{\alpha_3}}{\skal{\beta_2}{\beta_2}}\vec\beta_2\\
&=(0,0,1,-2)+(1,0,0,1)+\frac23(-1,1,0,1)\\
&=(\frac13,\frac23,1,-\frac13)=\frac13(1,2,3,-1)
\end{align*}
Po vynormovaní dostaneme vektory:
\begin{align*}
\vec\gamma_1&=\frac1{\sqrt2}(1,0,0,1)\\
\vec\gamma_2&=\frac1{\sqrt3}(-1,1,0,1)\\
\vec\gamma_3&=\frac1{\sqrt{15}}(1,2,3,-1)
\end{align*}
Pomocou sústavy
Z redukovaného tvaru tiež vieme vyčítať, že $S^\bot=(2,1,-1,-2)$ resp., že
$$S=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4; x_1+2x_2-2x_3-x_4=0\}.$$
Ak máme $S$ vyjadrené ako množinu riešení nejakej sústavy, tak vieme dostať bázu, ktorá bude obsahovať kolmé vektory tak, že:
- Za $\vec a_1$ si vezmeme ľubovoľné riešenie tejto sústavy (t.j. ľubovoľný vektor z $S$).
- Potom $\vec a_2$ hľadáme pomocou sústavy, kde k tejto rovnici pridáme podmienku, že má byť kolmý na $\vec a_1$.
- Pre $\vec a_3$ máme tri rovnice - jednu rovnicu, ktorá určuje podpriestor $S$; a dve pribudnú z toho, že má byť kolmý na prvé dva vektory.
Napríklad pri vhodnom výbere by sme dostali také bázy, ako sme uviedli vyššie.
Vyskúšajme aspoň jednu možnosť, kde dostaneme nejakú inú bázu. (Aby sme nepočítali znovu takmer to isté ako predtým.)
Samozrejme, môžete si vyskúšať nejaké iné výbery.
Zoberieme si nejaké riešenie sústavy
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 &-2 &-1 & 0
\end{array}\right)$$
trebárs $\vec b_1=(2,-1,0,0)$.
Teraz chceme nájsť vektor, ktorý patrí do $S$ a súčasne je kolmý na $\vec b_1$. T.j. má vyhovovať takejto sústave:
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 &-2 &-1 & 0\\
2 &-1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$$
Napríklad vcelku ľahko asi zbadáme riešenie $\vec b_2=(0,0,1,-2)$.
Teraz ešte chceme vektor, ktorý patrí do $S$ a súčasne je kolmý na $\vec b_1$ aj $\vec b_2$
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 &-2 &-1 & 0\\
2 &-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 &-2 & 0
\end{array}\right)$$
Množina riešení tejto sústavy je $[(1,2,2,1)]$. Zoberme si teda $\vec b_3=(1,2,2,1).$
Spoiler:
\begin{align*}
\vec c_1&=\frac1{\sqrt5}(2,-1,0,0)\\
\vec c_2&=\frac1{\sqrt5}(0,0,1,-2)\\
\vec c_3&=\frac1{\sqrt{10}}(1,2,2,1)
\end{align*}
Skúška správnosti
Ak sme vypočítali nejaké vektory, tak:
* Vieme ľahko skontrolovať, či sú na seba kolmé - stačí vypočítať skalárne súčiny.
* Ak sme našli redukovaný tvar alebo dokonca aj vyjadrili $S$ pomocou sústavy, tak ľahko vieme skontrlovať, či výsledné vektory naozaj ležia v $S$.