Napíšem sem niečo k tejto úlohe - aj keď vlastne obe veci, z ktorých je "poskladaná" (prienik, ONB) sme už viackrát počítali, čiže poznáme štandardné postupy.
Nájdite ortogonálnu bázu priestoru $S\cap T$, kde
\begin{align*}
S&=[(1,-1,0,0,0),(1,1,1,1,1),(0,0,0,1,-1),(1,2,3,2,1)]\\
T&=[(1,1,-1,1,0),(0,1,1,2,1),(0,1,-1,0,0),(0,0,0,2,-1)]
\end{align*}
Pracujeme v $\mathbb R^5$ so štandardným skalárnym súčinom.
Pri výpočte $S\cap T$ nám môže pomôcť, ak si vyjadríme tieto dva priestory pomocou vhodného systému lineárnych rovníc. Tú vieme vyčítať, ak si upravíme vektory generujúce jednotlivé podpriestory na redukovaný stupňovitý tvar.
Iný pohľad na vyjadrenie pre $S\cap T$, ktoré sme dostali, je ten, že (v konečnorozmerných priestoroch) máme $(S\cap T)^\bot=S^\bot+T^\bot$, a teda
$$S\cap T=(S^\bot+T^\bot)^\bot=S^{\bot\bot}\cap T^{\bot\bot}.$$
Naša sústava vyjadruje presne podmienky, že hľadáme vektory, ktoré sú kolmé na každý vektor z $S^\bot$ aj na každý vektor z $T^\bot$.
(Vypočítali sme vlastne, že $S^\bot=[(1,1,0,-1,-1)]$ a $T^\bot=[(1,2,2,-1,-2)]$.)
Tiež si môžeme všimnúť, že sme dostali dve lineárne nezávislé rovnice a teda $\dim(S\cap T)=3$.
Nie je veľmi ťažké prísť na to, že $S+T=\mathbb R^5$. Ak toto vieme naozaj skontrolovať, tak pre dimenziu dostávame
$$\dim(S\cap T)=\dim(S)+\dim(T)-\dim(S+T)=4+4-5=3.$$
Nájdime ortogonálnu bázu - Gram-Schmidtov proces.$\newcommand{\intrv}[2]{\langle #1,#2 \rangle}
\newcommand{\skal}[2]{\intrv{\vec{#1}}{\vec{#2}}}
\newcommand{\skl}[2]{\intrv{#1}{#2}}$
Z vyjadrenia pre $S\cap T$ v tvare sústavy
$$\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 &-2 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 &-1 & 0
\end{array}\right)$$
si môžem štandardným spôsobom zobrať nejakú bázu:
$$S\cap T=[(2,-2,1,0,0),(1,0,0,1,0),(0,1,0,0,1)].$$
Druhý a tretí vektor sú už na seba kolmé. Ak chcem použiť Gram-Schmidtov proces, tak sa mi môže hodiť začať s týmito vektormi - mám dva kolmé vektory a už mi stačí upravovať iba tretí vektor.
\begin{align*}
\vec a_1&=(1,0,0,1,0)\\
\vec a_2&=(0,1,0,0,1)\\
\vec a_3&=(2,-2,1,0,0)\\
\end{align*}
Dostanem teda $\vec b_1=\vec a_1$, $\vec b_2=\vec a_2$. Ešte chcem vyjadriť tretí vektor ako
$$\vec b_3=\vec a_3+c_{31}\vec b_1+c_{32}\vec b_2$$
pričom
\begin{align*}
c_{31}&=-\frac{\skal{a_3}{b_1}}{\skal{b_1}{b_1}}=-\frac{2}2=-1\\
c_{32}&=-\frac{\skal{a_3}{b_2}}{\skal{b_2}{b_2}}=-\frac{-2}2=1
\end{align*}
Dostaneme
\begin{align*}
\vec b_3&=\vec a_3-\vec a_1+\vec a_2\\
&=(2,-2,1,0,0)-(1,0,0,1,0)+(0,1,0,0,1)\\
&=(1,-1,1,-1,1)
\end{align*}
Dostal som ortogonálnu bázu:
\begin{align*}
\vec b_1&=(1,0,0,1,0)\\
\vec b_2&=(0,1,0,0,1)\\
\vec b_3&=(1,-1,1,-1,1)\\
\end{align*}
Nájdime ortogonálnu bázu - cez sústavy.
Ortogonálnu bázu môžeme nájsť jednoducho tak, že si zoberieme nejaké riešenia tejto sústavy; pričom pri pridávaní ďalšieho vektora vždy dávame pozor na to, aby bol kolmý na predchádzajúce.
Za vektor $\vec u_1$ si môžem zvoliť ľubovoľné riešenie sústavy
$$\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 &-2 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 &-1 & 0
\end{array}\right),$$
napríklad
$$u_1=(1,0,0,1,0).$$
Vektor $\vec u_2$ by mal patriť do $S$ a súčasne byť kolmý na $\vec u_1$, t.j. má vyhovovať sústave:
$\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 &-2 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 &-1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 &-2 &-2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 &-1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 &-2 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)
$
Môžeme si zobrať ktorékoľvek riešenie tejto sústavy, napríklad
$$\vec u_2=(0,1,0,0,1).$$
Viacerí ste hľadali prienik tak, že ste si zobrali vektory $\vec s_1$, $\vec s_2$, $\vec s_3$, $\vec s_4$ generujúce $S$ a vektory $\vec t_1$, $\vec t_2$, $\vec t_3$, $\vec t_4$ generujúce $T$ a potom ste hľadali koeficienty také, že
$$c_1\vec s_1+c_2\vec s_2+c_3\vec s_3+c_4\vec s_4=d_1\vec t_1+d_2\vec t_2+d_3\vec t_3+d_4\vec t_4.$$
Po vyriešení takejto sústavy sa dajú nájsť všetky možnosti pre parametre - a tým vidíme aj ako vyzerajú všetky vektory v $S\cap T$.
Takýto postup je úplne správny. (Len treba nezabudnúť na to, že takto získate iba koeficienty - treba potom ešte nejako nájsť zodpovedajúce vektory.
Aj tu poznamenám, že asi by sa Vám o čosi ľahšie počítalo, ak by ste si zvolili čo najjednoduchšie generátory týchto dvoch podpriestorov. Takže sa asi oplatilo najprv nájsť čo najjednoduchšiu bázu pre S aj pre T - napríklad úpravou na redukovaný tvar.
Ak si upravím vektory generujúce S (a T) na redukovaný tvar, získam ešte jednu výhodu - keď sa už nejako dopracujem k báze pre $S\cap T$, tak si viem ľahko skontrolovať, či nájdené vektory skutočne patria do S aj do T.