DU7 - ZS 2013/14

[Martin Sleziak]

Úlohou bolo zistiť, ktoré zo zadaných matíc sú riadkovo ekvivalentné. (Pričom sme počítali nad poľom $\mathbb Z_7$.)

Štandardný postup riešenia je upraviť na redukovanú trojuholníkovú maticu.
Z vety z prednášky vieme, že dve matice sú riadkovo ekvivalentné práve vtedy, keď im zodpovedajú rovnaké redukované trojuholníkové matice.

Niektorí z vás nedoupravovali matice až na redukovaný trojuholníkový tvar. Až na numerické chyby bola väčšina riešení ok.

[Martin Sleziak]

Ešte k tomu, že sa našli chybne vyriešené úlohy - pri takomto type úlohy vieme robiť (aspoň čiastočnú) skúšku správnosti, môže sa ju oplatiť spraviť: viewtopic.php?t=531
(Na písomke sa také nedá, ale keď to je na domácej úlohe, tak si výsledok môžete v princípe otestovať aj na počítači, ak máte k dispozícii softvér, ktorý vie takéto veci rátať.)

[Martin Sleziak]

Skupina A

$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 2 \\
2 & 1 & 2 & 0 \\
3 & 4 & 5 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 2 \\
2 & 1 & 2 & 0 \\
3 & 4 & 5 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 2 \\
1 & 4 & 1 & 0 \\
1 & 6 & 4 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 2 \\
0 & 2 & 5 & 5 \\
0 & 4 & 1 & 6 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 2 \\
0 & 2 & 5 & 5 \\
0 & 0 & 5 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 5 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}
$

Alebo inak - ako prvý krok som od tretieho riadku odpočítal prvé dva:
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 2 \\
2 & 1 & 2 & 0 \\
3 & 4 & 5 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 2 \\
2 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & 0 \\
2 & 0 & 2 & 6 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 5 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 5 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 6 & 3 \\
2 & 1 & 2 & 5 \\
1 & 3 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 5 \\
0 & 1 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 6 \\
\end{pmatrix}$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 6 & 3 \\
2 & 1 & 2 & 5 \\
1 & 3 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 6 & 3 \\
0 & 6 & 4 & 6 \\
0 & 2 & 3 & 5 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 6 & 3 \\
0 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 5 & 6 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & 2 \\
0 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 5 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & 2 \\
0 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 6 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 5 \\
0 & 1 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 6 \\
\end{pmatrix}
$

$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 6 \\
2 & 2 & 3 & 3 \\
3 & 5 & 5 & 4 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 6 \\
2 & 2 & 3 & 3 \\
3 & 5 & 5 & 4 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 6 \\
0 & 0 & 6 & 5 \\
0 & 2 & 6 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 6 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}
$

$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 3 \\
1 & 3 & 4 & 4 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 6 \\
0 & 1 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 3 \\
1 & 3 & 4 & 4 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 4 \\
1 & 0 & 0 & 6 \\
1 & 3 & 4 & 4 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 2 & 5 \\
1 & 0 & 0 & 6 \\
0 & 3 & 4 & 5 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 6 \\
1 & 0 & 0 & 6 \\
0 & 3 & 4 & 5 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 6 \\
0 & 1 & 1 & 6 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 6 \\
0 & 1 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

Prvá a tretia matica sú riadkovo ekvivalentná. (A žiadna ďalšia dvojica matíc nie je riadkovo ekvivalentná.)

[Martin Sleziak]

Skupina B

$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 2 \\
1 & 3 & 1 & 1 \\
4 & 4 & 6 & 1 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 6 \\
0 & 1 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 2 \\
1 & 3 & 1 & 1 \\
4 & 4 & 6 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 6 \\
0 & 3 & 6 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 6 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 6 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 6 \\
0 & 1 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 5 \\
2 & 1 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 4 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 5 \\
2 & 1 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 4 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 5 \\
2 & 1 & 4 & 5 \\
1 & 3 & 0 & 5 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 5 \\
1 & 4 & 2 & 6 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 5 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$

$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 4 & 5 \\
3 & 1 & 5 & 0 \\
2 & 3 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 4 & 5 \\
3 & 1 & 5 & 0 \\
2 & 3 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 2 & 6 \\
1 & 5 & 4 & 0 \\
1 & 5 & 4 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 2 & 6 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$

$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 4 & 1 \\
2 & 4 & 4 & 1 \\
3 & 1 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 6 \\
0 & 1 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 4 & 1 \\
2 & 4 & 4 & 1 \\
3 & 1 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 4 & 1 \\
2 & 4 & 4 & 1 \\
1 & 4 & 4 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 4 & 1 \\
0 & 2 & 3 & 6 \\
0 & 3 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 4 & 1 \\
0 & 2 & 3 & 6 \\
0 & 1 & 0 & 5 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 4 & 3 \\
0 & 0 & 3 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 5 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 4 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 6 \\
0 & 1 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

Sú ty dve dvojice riadkovo ekvivalentných matíc: Prvá so štvrtou, druhá s treťou.

[Martin Sleziak]

Skupina C

$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 0 \\
5 & 1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 0 \\
5 & 1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 0 \\
0 & 2 & 2 & 6 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & 2 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
$

$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}
$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 6 & 5 \\
0 & 4 & 6 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 5 & 4 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 6 & 6 \\
0 & 1 & 5 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}
$

$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 6 & 3 \\
2 & 4 & 2 & 6 \\
3 & 1 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 6 \\
0 & 1 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 6 & 3 \\
2 & 4 & 2 & 6 \\
3 & 1 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 6 & 3 \\
0 & 2 & 4 & 0 \\
0 & 5 & 4 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 6 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 5 & 4 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 4 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 6 \\
0 & 1 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & 5 \\
2 & 1 & 3 & 6 \\
3 & 1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & 5 \\
2 & 1 & 3 & 6 \\
3 & 1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & 5 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
3 & 1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 1 & 5 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 6 \\
0 & 1 & 1 & 5 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}
$

Medzi týmito maticami nie je žiadna dvojica riadkovo ekvivalentných matíc.

[Martin Sleziak]

Skupina D

$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 3 & 3 \\
3 & 1 & 4 & 5 \\
2 & 2 & 3 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 3 & 3 \\
3 & 1 & 4 & 5 \\
2 & 2 & 3 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 3 & 3 \\
1 & 5 & 6 & 4 \\
1 & 1 & 5 & 5 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 3 & 3 \\
0 & 2 & 3 & 1 \\
0 & 5 & 2 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 3 & 3 \\
0 & 2 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 5 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 3 & 3 \\
0 & 1 & 5 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 5 \\
3 & 1 & 5 & 0 \\
2 & 3 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 6 \\
\end{pmatrix}$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 5 \\
3 & 1 & 5 & 0 \\
2 & 3 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 5 \\
0 & 6 & 5 & 6 \\
0 & 4 & 0 & 5 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 5 \\
0 & 6 & 5 & 6 \\
0 & 1 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 5 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 6 \\
\end{pmatrix}
$

$\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 & 0 \\
3 & 1 & 5 & 0 \\
1 & 4 & 2 & 6 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 & 0 \\
3 & 1 & 5 & 0 \\
1 & 4 & 2 & 6 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 5 & 4 & 0 \\
1 & 5 & 4 & 0 \\
1 & 4 & 2 & 6 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 5 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 5 & 6 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 5 & 4 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$

$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 5 \\
1 & 3 & 3 & 3 \\
1 & 0 & 5 & 4 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}$

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 5 \\
1 & 3 & 3 & 3 \\
1 & 0 & 5 & 4 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 4 & 6 \\
1 & 3 & 3 & 3 \\
1 & 0 & 5 & 4 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 3 \\
1 & 3 & 3 & 3 \\
0 & 4 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 3 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 5 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}
$

Iba prvá a štvrtá matica sú riadkovo ekvivalentné.