Úloha 1.2.9(4) - "komplexné" násobenie dvojíc

[Martin Sleziak]

Keďže ste na cvičeniach hovorili, že hlavne s touto úlohou boli problémy, tak sme k nej niečo napíšem.

Na $\newcommand{\R}{\mathbb R}\R\times\R$ definujme operáciu $\cdot$ takto: $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$. Dokážte, že operácia $\cdot$ je asociatívna a komutatívna. Nájdite jej neutrálny prvok. Nájdite tie prvky v $\R\times\R$, ku ktorým jestvuje inverzný prvok; určte tento inverzný prvok.

Riešenie.

Je vcelku jasné, že ide skutočne o binárnu operáciu a že táto operácia je komutatívna.

Asociatívnosť. Pri overení asociatívnosti ide vlastne len o mechanické opakované použitie predpisu pre zadanú binárnu operáciu a jednoduché algebraické úpravy. Poďme ju však overiť detailne. Máme vlastne skontrolovať, či pre ľubovoľné reálne čísla $a,b,c,d,e,f\in\R$ platí
$$[(a,b)\cdot(c,d)]\cdot(e,f)=(a,b)\cdot[(c,d)\cdot(e,f)]$$
Upravujem najprv ľavú stranu tejto rovnosti.
$$\begin{multline*} [(a,b)\cdot(c,d)]\cdot(e,f) = (ac-bd,ad+bc)\cdot (e,f) = \\ ((ac-bd)e-(ad+bc)f,(ac-bd)f+(ad+bc)e) = \\ (ace-bde-adf-bcf,acf-bdf+ade+bce) \end{multline*}$$
Pre pravú stranu dostaneme
$$\begin{multline*} (a,b)\cdot[(c,d)\cdot(e,f)] = (a,b)\cdot(ce-df,cf+de) = \\ (a(ce-df)-b(cf+de),a(cf+de)+b(ce-df)) = \\ (ace-adf-bcf-bde,acf+ade+bce-bdf) \end{multline*}$$
Vidíme, že tieto dva výrazy sa zhodujú. (Sú tam presne rovnaké sčítance s rovnakými znamienkami, len v rôznom poradí.)

Neutrálny prvok. Chceme zistiť, či existuje taký prvok $(a,b)$, že pre ľubovoľné $(c,d)\in\R$ platí
$$\begin{align*} (a,b)\cdot(c,d)&=(c,d)\\ (ac-bd,ad+bc)=(1,0) \end{align*}$$
Dostávame teda dve rovnosti:
$$\begin{align*} ac-bd&=c\\ ad+bc&=d \end{align*}$$
Tie dve rovnosti majú platiť pre ľubovoľné reálne čísla $c$ a $d$. Ak dosadíme $c=1$ a $d=0$, tak z prvej rovnosti máme $a=1$ a z druhej $b=0$. Teda jediný kandidát na neutrálny prvok je dvojica $(1,0)$. Dosadením môžeme skutočne overiť,že
$$(1,0)\cdot(c,d)=(c,d).$$
Teda $(1,0)$ je neutrálnym prvkom tejto operácie.

Inverzný prvok. Pýtame sa, či pre zadané $a,b\in\R$ existujú $c,d\in\R$ tak, aby platilo
$$\begin{align*} (a,b)\cdot(c,d)&=(1,0)\\ (ac-bd,ad+bc)&=(1,0) \end{align*}$$
To znamená, že má platiť
$$\begin{align*} ac-bd&=1\\ ad+bc&=0 \end{align*}$$
Čísla $a$, $b$ považujeme za zadané, čísla $c$, $d$ chceme vyrátať.

Ide o pomerne jednoduchú sústavu rovníc. Ak sčítame $a$-násobok prvej rovnice s $b$-násobkom druhej, tak vypadnú členy obsahujúce $d$ a máme:
$$(a^2+b^2)c=a.$$
Podobne ak sčítame $a$-násobok druhej rovnice a $(-b)$-násobok prvej rovnice, tak máme:
$$(a^2+b^2)d=-b.$$

Teda za predpokladu, že $a^2+b^2\ne 0$ môžeme vyjadriť
$$\begin{align*} c&=\frac{a}{a^2+b^2}\\ d&=-\frac{b}{a^2+b^2} \end{align*}$$
Opäť sa môžeme dosadením presvedčiť, že toto je skutočne inverzný prvok k $(a,b)$:
$$(a,b)\cdot\left(\frac{a}{a^2+b^2},-\frac{b}{a^2+b^2}\right)= \left(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2},\frac{-ab+ab}{a^2+b^2}\right)=(1,0).$$

Čo ale v prípade, že $a^2+b^2=0$? Najprv si uvedommme, že pre $a,b\in\R$ nastane rovnosť $a^2+b^2=0$ iba ak $a=b=0$. (Viete povedať prečo?)

Všimnime si, že platí
$$(0,0)(c,d)=(0,0).$$
Teda vynásobením dvojice $(0,0)$ akýmkoľvek prvkom nemôžeme dostať $(1,0)$. Pre tento prvok teda neexistuje inverzný prvok.

[Martin Sleziak]

Táto úloha si zaslúži pár komentárov.

V prvom rade dúfam, že sa mi vás viac-menej podarilo presvedčiť, že sa dá vyriešiť vcelku priamočiaro, treba sa len nepomýliť pri úpravách výrazov. (Prinajmenšom overovanie asociatívnosti je naozaj iba opakovanie mechanické použitie toho istého predpisu.)

Mohli by ste sa pýtať, či sa tá istá úloha nedá riešiť aj nejako jednoduchšie - aby sme nemuseli robiť také zdĺhavé výpočty a dať si pozor, či sa niekde nepomýlime.

Ak viete niečo o komplexných číslach, tak by ste si mohli všimnúť, že definícia z tejto úlohy
$$(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$$
sa veľmi nápadne podobá na násobenie komplexných čísel
$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.$$
Čiže ak už odniekiaľ vieme, že násobenie komplexných čísel je komutatívne, asociatívne, má neutrálny prvok a ako vyzerajú inverzné prvky, vieme to vcelku ľahko preniesť na túto operáciu, keďže je to "v podstate to isté". (Čo znamená "v podstate to isté" by mohlo byť o čosi jasnejšie, keď si poriadnejšie osvojíte pojem izomorfizmu.)

Skúste sa pozrieť na to, ako vyzerá komplexné číslo $\frac1{a+bi}$ a porovnať to s výsledkom, ktorý nám vyšiel v uvedenom riešení.

Takýto spôsob riešenia by bol však do istej miery cyklický - v závislosti od toho, ako sme zaviedli komplexné čísla a overili ich vlastnosti. Pretože jedna z pomerne prirodzených možností ako definovať čísla je zaviesť ich ako usporiadané dvojice a násobenie definovať presne uvedeným spôsobom. Takže sa na túto úlohu môžete pozerať tak, že ste v nej overili asociatívnosť násobenia komplexných čísel.

Ak by sme zaviedli komplexné čísla nejako inak, tak by sme to mohli využiť v tejto úlohe. Napríklad sa komplexné čísla dajú zaviesť pomocou násobenia matíc: viewtopic.php?t=571
Pretože sme sa však zatiaľ o násobení matíc neučili a nevieme ani ukázať, že násobenie matíc je asociatívne, tak to zatiaľ nemôžeme použiť. Ale azda nezaškodí urobiť spomenúť, že pomocou vecí, ktoré sa na tomto kurze naučíme neskôr, budeme vedieť niektoré veci urobiť jednoduchšie. (Ak sa neskôr, keď budeme vedieť viac o maticiach, pozriete na maticovú definíciu komplexných čísel, tak zistíte, že mnohé fakty vieme ľahko dostať z vlastností matíc. Napríklad asociatívnosť dostaneme úplne zadarmo z toho, že násobenie matíc je asociatívne.)