Úloha 6.3 - Doplňte vektory na bázu Z5^4

[adrianmatejov]

Úloha 6.3. Ak sa to dá, doplňte vektory $(1,3,1,0)$, $(2,1,3,1)$ na bázu priestoru $\mathbb Z_5^4$.

Tieto 2 vektory sú lineárne nezávislé. Na to, aby generovali celý priestor, musíme ich doplniť niektorými 2 vektormi (Podľa Steinitzovej vety) z vektorov $(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$, ktoré generujú celý priestor $\mathbb Z_5^4$.

Skúsime ich doplniť vektormi $(0,1,0,0),(0,0,0,1)$

$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

Využili sme elementárne riadkové operácie na to, aby sme sa dopracovali k základnej báze $\mathbb Z_5^4$.
Možme teda povedať, že $\mathbb Z_5^4 = [(1,3,1,0), (2,1,3,1), (0,1,0,0), (0,0,0,1)]$

[Martin Sleziak]

Riešenie je ok - značím si 1 bod.

Tieto 2 vektory sú lineárne nezávislé.

Pripomeniem, že pre dva vektory to vidíme ľahko - stačí sa pozrieť, či jeden z nich je násobkom druhého.

Skúsime ich doplniť vektormi $(0,1,0,0),(0,0,0,1)$

Ja len doplním, že ak to robíme takto, tak v najhoršom prípade by sa nám mohlo stať, že vyskúšame $\binom42=6$ možností, kým nájdeme správnu. (Ak by sme naozaj skúšali všetky možnosti a zadanie by bolo také, že by fungovala jediná.)

V čase, keď sme mali k dispozícii iba Steinitzovu vetu a definíciu bázy, tak sme nič oveľa jednoduchšie vymyslieť nevedeli. Teraz, keď už vieme niečo o riadkových operáciách, tak nemusím skúšať, ktoré dva vektory sa dajú pridať.

Ak si dám zadané dva vektory do matice a upravím na RTM, tak z výsledku viem vyčítať, ktoré dva vektory sa dajú pridať.

$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
0 &-5 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
0 &-5 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -\frac15 & -\frac15
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac85 & \frac35 \\
0 & 1 & -\frac15 & -\frac15
\end{pmatrix}$
Výsledok si môžem skontrolovať napríklad vo WolframAlpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=ro ... %2C1%5D%5D

Z matice, ktorú som dostal, vidím, že sa dajú pridať vektory $(0,0,1,0)$ a $(0,0,0,1)$. (Teda jednotky dávam tam, kde stĺpec neobsahuje vedúcu jednotku.)
Nechám na vás, aby ste si rozmysleli prečo to takto funguje.

Poznamenám, že som nemusel maticu doupravovať do konca - už na mieste, kde som dostal $\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
0 &-5 & 1 & 1
\end{pmatrix}$ vidím, že výsledná matica má vedúce jednotky v prvých dvoch stĺpcoch. Ak si však chcem urobiť skúšku správnosti, tak sa nám to oplatí doupravovať na RTM.

Nemusím upravovať nutne na RTM - stačí, aby som tam mal dve stĺpce, kde mám jednu jednotku a ostatné sú nuly.
$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 8 & 0 &-1 \\
0 &-5 & 1 & 1
\end{pmatrix}$
Tu vidím, že sa dajú pridať vektory $(0,1,0,0)$ a $(0,0,0,1)$.

[Martin Sleziak]

Ako obvykle (teda aspoň v prípadoch, že existuje), pridám linku na staršie riešenie tej istej úlohy: viewtopic.php?t=353

[adrianmatejov]

Ak si dám zadané dva vektory do matice a upravím na RTM, tak z výsledku viem vyčítať, ktoré dva vektory sa dajú pridať.

$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
0 &-5 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
0 &-5 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -\frac15 & -\frac15
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac85 & \frac35 \\
0 & 1 & -\frac15 & -\frac15
\end{pmatrix}$

Chcel by som sa spýtať, že prečo Vám tam vychádzajú záporné čísla, keď počítame nad $\mathbb Z_5^4$

[Martin Sleziak]

Chcel by som sa spýtať, že prečo Vám tam vychádzajú záporné čísla, keď počítame nad $\mathbb Z_5^4$

Lebo som nepozorný. (Neviem, do akej miery sa to tým dá ospravedlniť, ale keď som ráno videl nejaké nové príspevky na fóre, tak som sa snažil odpovedať čím skôr, ak si to náhodou ešte niekto pozrie pred písomkou.)

Tie záporné čísla by ešte tak veľmi nevadili. (Aj v $\mathbb Z_5$ má zmysel $-2=3$.) Vadia tam najmä zlomky. A už celkom zlé je, ako som delil päťkou (alebo nejakým jej násobkom.)

Takže to čo som napísal pred chvíľou by platilo v $\mathbb R^4$.

Skúsme ešte raz v $\mathbb Z_5$.
$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}$
Hneď v druhom kroku som dostal RTM.
Z nej vidím, že pridať môžem $(0,1,0,0)$ a $(0,0,0,1)$.