msleziak.com

$D_n= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & \ldots & 1\\ 1 & 2 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 1 & 3 & \ldots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \ldots & 1 & n \end{vmatrix} =?$ Vieme, že pripočítanie $c$-ná...

Úloha: Dokážte (iba použitím definície lineárneho zobrazenia), že zobrazenie $f\colon V\to W$ (kde $V$, $W$ sú vektorové priestory nad poľom $F$ je lineárne práve vtedy, keď pre ľubovoľné $c\in F$, $\vec\alpha,\vec\beta\in V$ platí $f(c\vec\alpha+\vec\beta)=cf(\vec\alpha)+f(\vec\beta)$. Keďže dokazu...

Úloha: Nech $V$ a $W$ sú vektorové priestory nad poľom $F$ a $f\colon V\to W$ je lineárne zobrazenie. Dokážte: Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ sú lineárne závislé vektory, tak aj $f(\vec\alpha_1), \ldots, f(\vec\alpha_n)$ sú lineárne závislé vektory. Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ sú line...

Úloha 2.7. Dokážte: Ak pre každý prvok x grupy $(G, \circ)$ platí $x \circ x=e$, tak táto grupa je komutatívna. Ak platí že $x \circ x = e$, znamená že $x$ je aj svojim inverzným prvkom, čiže $x$ = $x^{-1}$. Ak má byť grupa komutatívna, musí platiť $\forall a,b \in G, a \circ b = b \circ a$. Označm...

Opravil som a doplnil kontrapríklad

Úloha 1.3 Dokážte: Ak $g \circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia. Platí aj opačná implikácia? Musí $g$ byť injekcia? Ak $g \circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia. Nech $f: X \to Y, g: Y \to Z$. Z definície injekcie ak $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ potom $x_1 = x_2$. Ak $f(x_1) = f(x_2)$, potom platí...