Úloha 11.3 - determinant $n\times n$

[FilipJurcak]

$D_n=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \ldots & \ldots & 1\\
1 & 2 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 1 & 3 & \ldots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & \ldots & 1 & n
\end{vmatrix}
=?$

Vieme, že pripočítanie $c$-násobku $i$-teho riadku k $j$-temu nemení determinant. Preto

\[ \begin{vmatrix}
1 & 1 & \ldots & \ldots & 1\\
1 & 2 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 1 & 3 & \ldots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & \ldots & 1 & n
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \ldots & \ldots & 1\\
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
1 & 1 & 3 & \ldots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & \ldots & 1 & n
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \ldots & \ldots & 1\\
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 2 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
1& 1 & \ldots & 1 & n
\end{vmatrix}
=
\ldots
=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \ldots & \ldots & 1\\
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 2 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & 0 & n -1
\end{vmatrix}
\]

V $i$-tom kroku výpočtu determinantu sme odčítali od $(i + 1)$-teho riadku (-1)-násobok prvého riadku, čím sa determinant nezmenil a získali sme hornú trojuholníkovú maticu.
Determinant hornej trojuholníkovej matice je súčin prvkov na diagonále, v našom prípade teda súčin
$(n - 1)(n - 2) \ldots (2)(1)(1) = (n - 1)!$

Determinant matice $D_n$ je teda $(n - 1)!$.

[Martin Sleziak]

Riešenie je ok, značím si 1 bod.
viewtopic.php?t=1196
viewtopic.php?t=410

[jaroslav.gurican]

Only a test