msleziak.com

Hmm, mozno nie je az taky zly napad si svoj dokaz overit aspon na jednom priklade :D Skusim teda este raz a trochu inak. Z vety 2.3.5 vieme, ze matica $A$ je kongruentna s jednotkovou maticou, a teda existuje taka regularna matica $P$, ze plati $$A = PIP^T = PP^T$$ Z tohto vidime, ze $$a_{n,n} = \su...

Well... *facepalm*. Okej, tak este raz. Budeme postupovat indukciou vzhladom na velkost matice $n$. Pre $n=1$ trivialne dostavame, ze $D_1 = |a_{11}| = a_{11} > 0$. Nech tvrdenie plati pre matice velkosti $1,..,k-1$. Majme teraz maticu $A$ velkosti $n=k$, ktora splna podmienky zo zadania, teda je to...

Úloha 3.5. Nech $A$ je symetrická reálna matica taká, že $D_1>0, D_2>0, \dots, D_n>0$. (Determinanty $D_k$ majú rovnaký význam ako v tvrdení z prednášky). Dokážte, že potom $a_{nn}>0$. Ak ma matica $A$ rozmer $1$, tak trivialne dostavame $D_1 = |a_{11}| = a_{11} > 0$. Nech ma teraz matica $A$ rozme...

Úloha 9.2. $\newcommand{\Tra}{\operatorname{Tr}}$Pre štvorcovú maticu $C$ typu $n\times n$ budeme výraz $\Tra(C)=\sum_{k=1}^n c_{nn}$ nazývať stopa matice $C$. (T.j. stopa matice je súčet prvkov, ktoré sú na diagonále.) Ukážte, že ak $A$, $B$ sú matice typu $n\times n$ nad poľom $F$, tak platia rov...

Ja mám 19. 11. skúšky v autoškole. Mohol by som si aspoň písomku individuálne napísať skôr/ neskôr?

Martin Sleziak wrote: Úloha 1.3. Nech $M$, $N$ sú konečné množiny, $M$ má $m$ prvkov a $N$ má $n$ prvkov. Koľko existuje zobrazení množiny $M$ do množiny $N$?

Každý z $m$ prvkov množiny $M$ sa môže zobraziť na nejaký prvok z množiny $N$, ktorých je celkovo $n$. To dáva dokopy $n^m$ možných zobrazení.

Úloha 1.2. Dokážte: Ak $g \circ f$ je surjekcia, tak aj $g$ je surjekcia. Nech $f: X \to Y$ a $g: Y \to Z$. Z definície pre surjektívne zobrazenie vyplýva, že pre každé $z \in Z$ existuje také $x \in X$, že $g(f(x)) = z$. Keďže každé $f(x)$ je vlastne nejaké $y \in Y$, tak potom platí, že $\forall ...

Úloha 1.1. Dokážte: Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia. Dokazovať budeme sporom. Nech $X$ je definičným oborom zobrazenia $f$. Povedzme si, že $f$ nie je injektívne, teda exisujú nejaké $x, y \in X$ pre ktoré platí, že $x \neq y$ a zároveň $f(x) = f(y)$. Potom ale aj $g(f(x)) = g(f(y))$...