Úloha 7.2. Izomorfizmus faktorovych okruhov

[Rabatin]

Úloha 7.2. Zistite (a zdôvodnite), s akými okruhmi sú izomorfné okruhy $\mathbb Z_{60}/(15)$, $\mathbb Z_{60}/(20)$, $\mathbb Z_{60}/(12)$.

Budem postupovat, tak ze sa prv sa pokusim zistit ako vyzeraju rozklady a potom uhadnut okruh, s ktorym to moze byt izomorfne. Potom izom. dokazem pomocou vety o izomorfizme.

Zoberme si hlavny ideal (15)
$ (15) = \{ 15k; k \in {\mathbb Z_{60} } \} = \{ 0,15,30,45 \}$
Cize donho patria vsetky nasobky 15 mensie ako 60.
Dalej si vsimneme, ze rozklady podla prvkov 1,16,31,46 su rovnake. Su to vsetky cisla, ktore davaju po deleni 15 zvysok 1. Vhodnymi reprezentantami tried rozkladov su $0,1,2,...,14$. Cize by to mohlo byt izomorfne so $Z_{15}$.

Veta o izom.:

Definujme $f : Z_{60} \rightarrow Z_{15}$
$f(a) = a \bmod 15$
1) Je to zjavne surjekcia.
2) Vsetky nasobky 15 sa zobrazia na 0. Cize $\operatorname{Ker} f = (15)$.
3) hom.:
$f(a)f(b) = (a \bmod 15)(b \bmod 15) = (ab) \bmod 15 = f(ab)$
$f(a) + f(b) = (a \bmod 15) + (b \bmod 15) = (a+b) \bmod 15 = f(a+b)$

Dokaz by bol podobny pre ostatne faktorove okruhy. Vsetky vlastnosti, ktore som vyuzil platia aj pre ne. Cize $\mathbb Z_{60}/(15) \cong Z_{15}$, $\mathbb Z_{60}/(20) \cong Z_{20}$ a $\mathbb Z_{60}/(12) \cong Z_{12}$

[Martin Sleziak]

Ok, ja sa skúsim ešte spýtať na nejaké veci. Fungovalo by to isté pre $7$ na miesto $15$? (T.j. dá sa rovnakým argumentom zdôvodniť, že $\mathbb Z_{60}/(7)\cong \mathbb Z_7$? Platí to vôbec?)
Asi prídete na to, že to tak nie je. Moja hlavná otázka je: Akú vlastnosť má číslo 15, ktorú nemá číslo 7; ktorá spôsobí, že váš argument pre jedno z týchto čísel funguje a pre druhé nie? Skúste vysvetliť, kde konkrétne sa v nasledujúcej časti dôkazu táto vlastnosť využíva. (Zobrazenie $f$ by sme mohli presne rovnako definovať aj pre 7 namiesto 15. Kde to v takomto prípade zhavaruje?)

Veta o izom.:

Definujme $f : Z_{60} \rightarrow Z_{15}$
$f(a) = a \bmod 15$
1) Je to zjavne surjekcia.
2) Vsetky nasobky 15 sa zobrazia na 0. Cize $\operatorname{Ker} f = (15)$.
3) hom.:
$f(a)f(b) = (a \bmod 15)(b \bmod 15) = (ab) \bmod 15 = f(ab)$
$f(a) + f(b) = (a \bmod 15) + (b \bmod 15) = (a+b) \bmod 15 = f(a+b)$

Dokaz by bol podobny pre ostatne faktorove okruhy. Vsetky vlastnosti, ktore som vyuzil platia aj pre ne. Cize $\mathbb Z_{60}/(15) \cong Z_{15}$, $\mathbb Z_{60}/(20) \cong Z_{20}$ a $\mathbb Z_{60}/(12) \cong Z_{12}$

[Rabatin]

7 nedeli 60. 15, 20, aj 12 delia 60. Ked si zoberieme $\mathbb Z_{60} /(7)$, tak trieda $4 + (7)$ podla toho co som spomenul v prvom odstavci by mala obsahovat vsetky cisla so zvyskom 4 po deleni 7. To neplati. $4 + 56 = 0$. Nula nedava zvysok 4.

Zhavaruje to na (3):
$f(4 + 56) = f(0) = 0$
$f(4) + f(56) = 4 + 0 = 4$

Takze (3) by mala byt:
$f(a)f(b) = (a \bmod 15)(b \bmod 15) = (ab) \bmod 15 = ((ab) \bmod 60) \bmod 15 = f(ab)$
$f(a) + f(b) = (a \bmod 15) + (b \bmod 15) = (a+b) \bmod 15 = ((a+b) \bmod 60) \bmod 15 = f(a+b)$

[Martin Sleziak]

ok
značím si za túto úlohu 1 bod