Nájdite inverznú maticu

[Martin Sleziak]

Príklad z dnešnej písomky:

Nájdite inverznú maticu k matici
$\begin{pmatrix}
2 & 2 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
-1 & 0 &-1 & 0 \\
3 & 2 & 4 & 1
\end{pmatrix}$

[Martin Sleziak]

Pridám riešenie:

$\left(\begin{array}{cccc|cccc}
2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 &-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
3 & 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 &-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
3 & 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
2 & 2 & 2 & 0 & 1 &-1 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 &-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
3 & 2 & 4 & 0 & 0 &-1 &-1 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
0 & 2 & 0 & 0 & 1 &-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 &-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 0 & 0 &-1 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
0 & 2 & 0 & 0 & 1 &-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 &-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 &-1 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
0 & 2 & 0 & 0 & 1 &-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 &-1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 &-1 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 &-1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 &-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 &-1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 &-2 &-1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac12 &-\frac12 & \frac12 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 &-1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right)$

Teda inverzná matica je
$\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 &-2 &-1 \\
\frac12 &-\frac12 & \frac12 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)$

Skúšku, či to je naozaj inverzná matica, by mal vedieť zrátať každý. (Treba vedieť násobiť matice a vedieť, ako je definovaná inverzná matica.)

Pripomeniem, že sme sa rozprávali aj o tom, že pri takomto type príkladu sa dá robiť skúška aj priebežne, t.j. keď sme začali robiť úpravy a nemáme konečný výsledok: viewtopic.php?f=29&t=531