Rovnobežníkové pravidlo a skalárny súčin

[Martin Sleziak]

Dnes na cviku sme ukázali, že "veľkosť" odvodená od skalárneho súčinu má vlastnosť, ktorú sme nazvali rovnobežníkové pravidlo.

Takáto vec môže byť užitočná, ak chcete odvodiť, že nejako zavedená veľkosť nemôže pochádzať od skalárneho súčinu. Napríklad ak by sme definovali $|\vec x|=\max\{x_1,x_2\}$ alebo $|vec x|=|x_1|+|x_2|$, tak určite neexistuje taký skalárny súčin, aby platilo $|\vec x|=\sqrt{\langle \vec x,\vec x\rangle}$.

Videli sme aj nejaké ďalšie vlastnosti, ktoré mala veľkosť vektora. Niektoré z nich sa dajú stručne zhrnúť tak, že je to norma. (S týmto pojmom sa ešte budete často stretávať na analýze.)

O dosť náročnejšie je ukázať, že každá norma, ktorá spĺňa rovnobežníkové pravidlo, sa už musí dať odvodiť zo skalárneho súčinu.
Tu to spomínam skôr pre zaujímavosť, vrátiť sa k tomu asi bude rozumnejšie neskôr, keď už budete zvyknutí pracovať s normami. (Keď sa o nich niečo naučíte na analýze.) Ale ak by si niekto chcel pozrieť dôkaz, tak ho môže nájsť napríklad tu:
Norms Induced by Inner Products and the Parallelogram Law.