Úloha 7.6.3(7) - rozklad na súčet vektora z $L$ a $L^\bot$

[Martin Sleziak]

Dostal som otázku na mailom na takýto príklad - odpoveď som napísal sme, snáď môže pomôcť aj ostatným. (Ak by boli nejaké otázky k riešeniu, tak najlepšie písať sem na fórum.)$\newcommand{\skl}[2]{\langle{#1},{#2}\rangle}$

Úloha 7.6.3(6) je do istej miery podobného typu ako viewtopic.php?t=574

V $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom nájdite vyjadrenie vektora $(9,4,2,1)$ ako súčtu vektora z podpriestoru $L$ a vektora z $L^\bot$, ak $L=[(2,3,-3,2),(2,-1,-1,-2),(1,2,2,-1)]$

$
\begin{pmatrix}
2 & 3 &-3 & 2 \\
2 &-1 &-1 &-2 \\
1 & 2 & 2 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
4 & 2 &-4 & 0 \\
2 &-1 &-1 &-2 \\
1 & 2 & 2 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & 1 &-2 & 0 \\
2 &-1 &-1 &-2 \\
1 & 2 & 2 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & 1 &-2 & 0 \\
0 &-2 & 1 &-2 \\
1 & 2 & 2 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 &-3 &-6 & 2 \\
0 &-2 & 1 &-2 \\
1 & 2 & 2 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 &-3 &-6 & 2 \\
0 & 1 & -\frac12 & 1 \\
1 & 0 & 3 &-3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 0 &-\frac{15}2 & 5 \\
0 & 1 & -\frac12 & 1 \\
1 & 0 & 3 &-3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 &-3 \\
0 & 1 & -\frac12 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -\frac23
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 &-1 \\
0 & 1 & 0 & \frac23 \\
0 & 0 & 1 & -\frac23
\end{pmatrix}
$

$L^\bot=[(3,-2,2,3)]=[\frac1{\sqrt{26}}(3,-2,2,3)]$

Priemet do $L^\bot$:
$\skl{(9,4,2,1)}{(3,-2,2,3)}=27-8+4+3=26$
$\frac1{\sqrt26}\skl{(9,4,2,1)}{(3,-2,2,3)}=\sqrt{26}$
Priemet je $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}(3,-2,2,3)=(3,-2,2,3)$

Rozklad je $(9,4,2,1)=(6,6,0,-2)+(3,-2,2,3)$.

Vektor $(6,6,0,-2)$ skutočne patrí do $L$:
$(6,6,0,2)=(2,3,-3,2)+(2,-1,-1,-2)+2(1,2,2,-1)$.
Vektor $(3,-2,2,3)$ skutočne patrí do $L^\bot$; stačí skontrolovať, že je kolmý na zadané vektory $(2,3,-3,2)$, $(2,-1,-1,-2)$, $(1,2,2,-1)$.

[Martin Sleziak]

Aj úlohu 7.8.5(2) môžeme riešiť podobne ako viewtopic.php?t=574

Keďže na fóre aj v LAG1 je viacero vecí podobného typu, tak toto napíšem už iba stručne.

Nájdite maticu ortogonálnej projekcie na podpriestor $T=[(1,1,2)]\subseteq\mathbb R^3$. Aký je vzťah tejto matice k matici z príkladu 7.8.4?

$\newcommand{\skl}[2]{\langle{#1},{#2}\rangle}\skl{(x_1,x_2,x_3)}{(1,1,2)}=x_1+x_2+2x_3$

Projekcia: $(x_1,x_2,x_3)\mapsto \frac{x_1+x_2+2x_3}6(1,1,2)$

Matica zobrazenia: $P'=\frac16
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 \\
2 & 2 & 4
\end{pmatrix}$

Pretože $T=S^T$, mali by sme dostať $P+P'=I$, čo skutočne platí.