2.2.16.

[ZuzanaHromcova]

Nech $H$ je vlastná podgrupa grupy $G$. Dokážte, že $[G-H] = G$.

Keďže symbol $[G-H]$ označuje podgrupu $G$ s istými vlastnosťami, zrejme $[G-H] \subset G$. Zostáva teda ukázať len opačnú inklúziu.
Pretože $G \neq H$, musí existovať prvok $g \in G$ taký, že $g \notin H$, teda $g \in G-H$. Keďže $H$ je podgrupa grupy $G$, musí platiť $H \neq \emptyset$. Musí teda existovať prvok $h \in G$ taký, že $h \in H$. Keďže $G$ je grupa, $\ast$ je binárna operácia na $G$ a $g, h \in G$, musí platiť aj $g \ast h \in G$.
Predpokladajme, že $g \ast h \in H$. Kedže aj $h \in H$ a $H$ je podgrupa, musí byť aj $h^{-1} \in H$. Zároveň $\ast$ je binárna operácia na tejto grupe, takže pretože $g \ast h \in H, h^{-1} \in H$, tak aj $(g \ast h) h^{-1} \in H$. Využitím asociatívnosti, definície neutrálneho a inverzného prvku v grupe $H$ dostaneme $g \ast (h h^{-1}) \in H$, teda $g \ast e \in H$, teda $g \in H$, čo je v spore s predpokladom $g \notin H$. Preto neplatí $g \ast h \in H$ a musí platiť $g \ast h \in G-H$.
Symbol $[G-H]$ označuje najmenšiu (v zmysle inklúzie) podgrupu grupy $G$, ktorá obsahuje množinu $G-H$, preto zrejme $G-H \subseteq [G-H]$. Preto prvky $g, g \ast h \in G$ musia patriť aj do $[G-H]$. Keďže toto je grupa, musí v nej k prvku $g$ existovať inverzný prvok, teda $g^{-1} \in [G-H]$. Zároveň je na $[G-H]$ $\ast$ binárnou operáciou, takže ak $g^{-1} \in [G-H], g \ast h \in [G-H]$, tak aj $g^{-1} \ast (g \ast h) \in [G-H]$, čo sa ďalej rovná (asociatívnosť) $= (g^{-1} \ast g) \ast h =$ (neutrálny a inverzný prvok v $[G-H]$) $= h \in [G-H]$.
Záver: Nech vezmeme ľubovoľný prvok grupy $G$, musí buď patriť do množiny $H$, alebo nie. Ak do nej nepatrí, potom patrí do $G-H$ a teda aj do $[G-H]$. Ak tento prvok patrí do $H$, podľa predošlej úvahy tiež patrí do $[G-H]$. Znamená to teda $G \subseteq [G-H]$ a teda na záver aj $[G-H] = G$.
$\square$

[jaroslav.gurican]

OK, 1 bod.
Dá sa to urobiť ako dôsledok cvičenia 2.2.5 (jeden študent za to získal od svojich kolegov na cvičení u M. Sleziaka spontánne "standing ovation"). Skúste to.