Vzdialenosť mimobežných podpriestorov

[Martin Sleziak]

Skúsim sa ešte vrátiť k úlohe na nájdenie vzdialenosti dvoch mimobežných podpriestorov.$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}\newcommand{\abs}[1]{|{#1}|}$

Najprv si povedzme nejaké všeobecné veci: Majme afinné podpriestory zadané ako bod + vektorová zložka, t.j. $\alpha\equiv A_1+V_1$, $\beta\equiv A_2+V_2$. Chceme vyrátať vzdialenosť $\rho(A,B)$.

Označme $V=V_1+V_2$. Vieme, že vzdialenosť je rovná
$$\rho(\alpha,\beta)=\rho(A_1+V,A_2+V)=\rho(A_1,A_2+V).$$
T.j. je rovnaká, ako vzdialenosť medzi rovnobežnými afinnými podpriestormi, ktoré sme viedli cez zadané afinné podpriestory.
Tým sme vlastne previedli úlohu na hľadanie vzdialenosti bodu od afinného podpriestoru. Pre priamku sme takúto úlohu riešili tu: viewtopic.php?f=29&t=623 Niektoré z postupov uvedených tam fungujú všeobecne

Iná možnosť je zobrať ľubovoľné body z jedného a druhého podpriestoru a hľadať priemet vektora spájajúceho tieto dva body do $V^\bot$. Veľkosť kolmého priemetu je presne vzdialenosť.
T.j. vieme, že $\vekt{A_1A_2}$ sa dá jednoznačne rozložiť ako $\vec u + \vec v$, kde $\vec u\in V$ a $\vec v\in V^\bot$. Ak nájdeme vektor $\vec v$, jeho dĺžka je hľadaná vzdialenosť.
Hľadať kolmý priemet sme sa naučili robiť už v minulom semestri: viewtopic.php?f=29&t=574

Ďalej vieme, že pre mimobežné afinné podpriestory existuje stredná priečka, t.j. existujú body $P\in\alpha$, $Q\in\beta$ také, že $\vekt{PQ}$ je kolmý na $\alpha$ aj na $\beta$. Potom platí $\rho(\alpha,\beta)=\abs{PQ}$. Čiže ak nájdeme strednú priečku, stačí vyrátať jej dĺžku.

Poďme sa skúsiť pozrieť na rôzne postupy výpočtu vzdialenosti na konkrétnom príklade.

Vyrátajte vzdialenosť priamky $p$ a roviny $\alpha$ v $\mathbb R^4$, ak priamka $p$ je určená bodom $A=(1,0,1,0)$ a smerovým vektorom $\vec u=(0,1,1,1)$ a rovina $\alpha$ je určená bodom $B=(1,2,3,4)$ a vektormi $\vec v=(1,1,0,0)$ a $\vec w=(0,0,1,1)$.

Túto úlohu som zobral z http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak ... ohyvzd.pdf (Kde môžete nájsť tiež nejaké riešenia.)

[Martin Sleziak]

Riešenie pomocou pomocného podpriestoru$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}\newcommand{\abs}[1]{|{#1}|}$

Chceme nájsť vzdialenosť bodu $A$ od afinného podpriestoru určeného bodom $B$ a vektormi $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$. Tieto vektory sú lineárne nezávislé, ide teda o nadrovinu. Označme ju $\beta$.

Vidíme, že $V_\beta=[(1,1,0,0),(0,0,1,1),(0,1,1,1)]=[(1,1,0,0),(0,0,1,1),(0,1,0,0)]=[(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)]$.

Z toho zistíme, že $V_\beta^\bot=(0,0,1,-1)$. Teda všeobecná rovnica nadroviny $\beta$ má tvar $x_3-x_4+d=0$. Dosadením bodu $B$ zistíme, že je to
$$x_3-x_4+1=0.$$
Teraz stačí vyrátať
$$\rho(A,\beta)=\frac{\abs{1-0+1}}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac2{\sqrt2}=\boxed{\sqrt2}.$$

Tu sme mali výhodu, že pomocný podpriestor mal kodimenziu 1 (bola to nadrovina), a teda sme mohli priamo využiť vzorec. Poďme to skúsiť vyrátať bez použitia vzorca. (Napríklad keby sme riešili podobnú úlohu v $\mathbb R^5$, tak $\beta$ ako podpriestor dimenzie 3 v 5-rozmernom priestore by už nebola nadrovina a nemáme k dispozícii vzorec, ktorí sme použili pred chvíľou.)

Môžeme nájsť vzdialenosť $A$ od $\beta$ napríklad tak, že hľadáme kolmý priemet $A^\bot$.
Ten môžeme nájsť ako prienik kolmopremietacieho priestoru $\pi_\beta^\bot(A)$ s nadrovinou $\beta$. Kolmopriemietací priestor je určený bodom $A$ a vektorovou zložkou $V_\beta^\bot$. Teda je to priamka určená rovnicami $x_1=1$, $x_2=0$, $x_3=1+t$, $x_4=-t$.
Hľadáme prienik tejto priamky s rovinou. Pre zmenu skúsme teraz použiť parametrické vyjadrenie. (Môžete si vyskúšať, že s použitím analytického vyjadrenia nadroviny $\beta$ dostanete ten istý výsledok.)
Dostávame rovnice:
$$\begin{align*} 1&=1+a\\ 0&=2+b\\ 1+t&=3+c\\ -t&=4+c \end{align*}$$
Táto sústava má jediné riešenie $t=-1$, $a=0$, $b=-2$, $c=3$.
Tieto hodnoty parametrov určujú bod $A^\bot=(1,0,0,1)$.
(Môžeme skontrolovať, že $A^\bot$ skutočne patrí do $\beta$ a že $\vekt{AA^\bot}=(1,0,0,1)-(1,0,1,0)=(0,0,-1,1)\in V_\beta^\bot$.)
Dostávame $\rho(A,B) = \abs{AA^\bot}=\boxed{\sqrt2}$

[Martin Sleziak]

Kolmý priemet$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}\newcommand{\abs}[1]{|{#1}|}$

Úlohu môžeme riešiť aj tak, že vezmeme vektor $\vekt{AB}=(1,2,3,4)-(1,0,1,0)=(0,2,2,4)$ a hľadáme jeho kolmý priemet do $V_\beta^\bot$.

Kolmý priemet vieme nájsť viacerými spôsobmi.

V tomto prípade je priestor, do ktorého robíme priemet, jednorozmerný, takže to ide veľmi jednoducho. (Pozri aj: viewtopic.php?t=851 )

Zoberieme si jednotkový vektor generujúci tento priestor, čo je $\frac1{\sqrt2}(0,0,-1,1)$.

Vyrátame skalárny súčin so zadaným vektorom: $\frac1{\sqrt2}\langle(0,2,2,4),(0,0,-1,1)\rangle=\frac{-2}{\sqrt2}$.

Hľadaný kolmý priemet je $\frac{-2}{\sqrt2}\cdot \frac1{\sqrt2}(0,0,-1,1) = (0,0,1,-1)$. Jeho veľkosť je $\boxed{\sqrt2}$.

(Môžeme sa presvedčiť, že $(0,2,2,4)=\underset{\in V_\beta^\bot}{\underbrace{(0,0,-1,1)}}+\underset{\in V_\beta}{\underbrace{(0,2,3,3)}}$)

[Martin Sleziak]

Stredná priečka$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}\newcommand{\abs}[1]{|{#1}|}$

Pretože dané afinné podpriestory sú mimobežné, podľa vety z prednášky existuje vektor $\overrightarrow{PQ}$, taký, že $P\in p$, $Q\in\alpha$, $\overrightarrow{PQ}$ je kolmý na vektorové zložky oboch afinných podpriestorov a jeho veľkosť je práve vzdialenosť týchto afinných podpriestorov. (Priamka $PQ$ sa nazýva stredná priečka.)

Parametrické vyjadrenia sú
$p=\{P=A+s\vec u\}$,
$\alpha=\{Q=B+t\vec v+u\vec w\}$,
z čoho dostaneme
$$\begin{gather*} \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AB}+t\vec v+u\vec w-s\vec u=(t,2-s+t,2-s+u,4-s+u) \end{gather*}$$

Podmienku, že $\overrightarrow{PQ}$ je kolmý na vektorové zložky oboch priestorov môžeme vyjadriť pomocou skalárneho
súčinu: $\langle\overrightarrow{PQ},\vec u\rangle=\langle\overrightarrow{PQ},\vec v\rangle=\langle\overrightarrow{PQ},\vec w\rangle=0$. Z~toho dostaneme sústavu
rovníc
$$\begin{align*} 8-3s+t+2u&=0,\\ 2- s+2t &=0,\\ 6-2s+ 2u&=0, \end{align*}$$
z~ktorej vyrátame $t=0$, $s=2$, $u=-1$.

Preto
$$\rho(p,\alpha)=\overrightarrow{PQ}=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\boxed{\sqrt{2}}$$

Súčasne sme našli $P=(1,2,3,2)$ a $Q=(1,2,2,3)$. Tieto body skutočne určujú strednú priečku; jeden z nich patrí zadanej priamke a druhý zadanej rovine. Vektor $\vekt{PQ}=(0,0,-1,1)$ je kolmý na $V_p$ aj $V_\alpha$.

Iná ukážka výpočtu strednej priečky: viewtopic.php?t=870

[Martin Sleziak]

Minimalizácia vzdialenosti$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}\newcommand{\abs}[1]{|{#1}|}$

Máme parametrické vyjadrenie priamky aj roviny - pre ľubovoľný bod $X\in P$, $Y\in Q$ vieme vyjadriť $\abs{XY}^2$ ako funkciu parametrov. Túto funkciu chceme minimalizovať. Keďže vyjadrenie je pomerne jednoduché (je to kvadratická funkcia), mohlo by sa nám podariť nájsť minimum.
Takéto riešenie je detailne rozpísané tu: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak ... ohyvzd.pdf