Prednášky LS 2014/15

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorý z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška (19.2.):
Asymptotická hustota. Definícia, základné vlastnosti, rôzne vyjadrenia asymptotickej hustoty. Príklad množiny, ktorá nemá asymptotickú hustotu. Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.

[Martin Sleziak]

2. prednáška (27.2.):
Asymptotická hustota. Ukázali sme vetu hovoriacu, že z $d(A_p)=0$ pre všetky prvočísla vyplýva $d(A)=0$. Ako dôsledok sme dostali, že množina čísel, ktoré majú najviac $k$ prvočíselných deliteľov, má hustotu $0$.
Preskočil som niektoré ďalšie dôsledky tejto vety (konkrétne vetu 5.1.15 a 5.1.17) - tieto vety nebudem ani skúšať.
Ukázali sme ešte jedným spôsobom, že $d(\mathbb P)=0$.

[Martin Sleziak]

3. prednáška. (6.3)
Schnireľmannova hustota. Definícia a základné vlastnosti. Ukázali sme si dva odhady pre $\sigma(A+B)$ (Schnireľmannova vetu a Mannovu vetu; druhú z nich len bez dôkazu.)
Logaritmická hustota. Definícia a základné vlastnosti. Ukázali sme si vzťah medzi logaritmickou a asymptotickou hustotou.

[Martin Sleziak]

4. prednáška. (12.3)
Odvodili sme Stolzovu-Cesarovu vetu. Táto veta sa do istej miery podobá na L'Hospitalovo pravidlo.
Nejaké príklady, v ktorých sa dá použiť táto veta, sú aj v poznámkach. Ale viac (a zaujímavejších) príkladov, kde sa dá táto veta použiť nájdete na linkách uvedených tu. Spomenuli sme, že Stolz-Cesarova veta vyzerá v podstate ako "L'Hospital pre postupnosti". Nejaké ďalšie diskrétne analógie výsledkov pre intergrál/deriváciu nájdete tu.
Logaritmická hustota. Príklad množiny, ktorá má logaritmickú hustotu, ale nemá asymptotickú hustotu.
Štatistická konvergencia. Definícia. Vzťah štatistickej konvergencie a konvergencie postupnosti aritmetických priemerov. Abel-Pringsheim-Olivierova veta a jej zovšeobecnenie pre štatistickú konvergenciu.

[Martin Sleziak]

5. prednáška (19.3.):
Lineárne diofantické rovnice. Pripomenuli sme si, ako sa riešia lineárne kongruencie a ukázali, že rovnakým spôsobom vieme riešiť lineárne kongruencie tvaru $ax+by=c$.
Pytagorovské trojice. Ukázali sme, ako vyzerajú všetky riešenia rovnice $x^2+y^2=z^2$ v prirodzených číslach.
Rovnica $x^4+y^4=z^4$. Dokázali sme neexistenciu riešení rovníc $x^4+y^4=z^2$ a v prirodzených číslach.

[Martin Sleziak]

6. prednáška (26.3.):
Rovnica $x^4+y^4=z^4$. Dokázali sme neexistenciu riešení rovnice $x^4+y^2=z^2$ a v prirodzených číslach. Neexistuje pravouhlý trojuholník s celočíselnými dĺžkami strán, kde dve strany by boli štvorce. Neexistuje pravouhlý trojuholník s celočíselnými dĺžkami strán, ktorého plocha by bol štvorec.
Deliteľnosť v oboroch integrity a euklidovské okruhy. Z tejto časti som len zadefinoval základné pojmy (deliteľnosť, asociovanosť, delitele jednotky, najväčší spoločný deliteľ). Definoval som euklidovský okruh a okruh s jednoznačným rozkladom. fakt, že každý euklidovský okruh je okruhom s jednoznačným rozkladom som len povedal bez dôkazu.
Okruhy $\mathbb Z[ i ]$ a $\mathbb Z[\omega]$. O týchto okruhoch sme dokázali, že sú to Euklidovské okruhy. Ukázali sme si, ako vyzerajú delitele jednotky v týchto okruhoch.

[Martin Sleziak]

7. prednáška (9.4.):
Dôkaz neexistencie netriviálnych riešení rovnice $x^3+y^3=z^3$.

Koho by zaujímal dôkaz elementárnejšími metódami (bez využitia okruhu $\mathbb Z[\omega]$, tak je naznačený na Wikipédii, kde sa dajú nájsť aj odkazy na literatúru. (Je detailne spravený napríklad v Ribenboimovej knihe.)

Podobne okruh $\mathbb Z[ i ]$ sa dá použiť na nájdenie všetkých riešení rovnice $x^2+y^2=z^2$. Dôkaz sa dá nájsť napríklad v knihe Andreescu, Andrica, Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations.

(Obe spomínané knihy môžem v prípade záujmu poskytnúť.)

[Martin Sleziak]

8. prednáška (16.4.)
Aditívne bázy. Ukázali sme, že ak $\sigma(A)>0$, tak $A$ je aditívna báza množiny $\mathbb N$.
Súčty dvoch štvorcov. Charakterizovali sme čísla, ktoré sa dajú napísať ako súčet dvoch druhých mocnín celých čísel.

[Martin Sleziak]

9. prednáška (23.4.):
Počet rozkladov na súčet dvoch štvorcov. Ukázali sme si, koľko je rozkladov daného čísla na súčet 2 štvorcov. Pri tom sme využili, popis ireducibilných prvkov v okruhu $\mathbb Z\left[i\right]$, t.j. gaussovských prvočísel.
Súčty štyroch štvorcov. Začali sme sa zaoberať číslami, ktoré sa dajú napísať ako súčty štyroch štvorcov. Zatiaľ sme si ukázali, že táto množina je uzavretá na súčiny. Pri tom sme si povedali niečo o maticovej reprezentácii kvaterniónov.