Podobné matice majú rovnaký minimálny polynóm

[Martin Sleziak]

Dnes sme tento fakt na cviku používali, tak si poďme rozmyslieť, že podobné matice majú rovnaký minimálny polynóm.$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

Vlastne si stačí postupne rozmyslieť tieto fakty. (Skúste sa nad nimi zamyslieť sami, potom si pozrite riešenie.)

1) Ak $A$ a $B$ sú podobné, tak aj $A^n$ a $B^n$ sú podobné.

Spoiler:

Ak $B=PA\inv P$, tak $B^n=(PA\inv P)(PA\inv P)\dots (PA\inv P)=PA^n\inv P$, lebo v predošlom výraze sa $(n-1)$-krát $\inv PP$ vykráti.

2) Ak $A$ a $B$ sú podobné, tak aj $cA$ a $cB$ sú podobné.

Spoiler:

Ak $B=PA\inv P$, tak $cB=c(PA\inv P)=P(cA)\inv P$.

3) Ak $A$ a $B$ sú podobné a $f(x)$ je ľubovoľný polynóm, tak $f(A)$ a $f(B)$ sú podobné.

Spoiler:

Nech $f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$.
Nech $B=PA\inv P$.
V bodoch 1) a 2) sme už odvodili, že potom
$a_nB^n=Pa_nA^n\inv P$
$a_{n-1}B^{n-1}=Pa_{n-1}A^{n-1}\inv P$
$\vdots$
$a_2B^2=Pa_2A^2\inv P$
$a_1B=Pa_1A\inv P$
$a_0I=Pa_0I\inv P$
T.j. tieto matice sú podobné, ale navyše aj matica prechodu $P$ je vo všetkých prípadoch tá istá.

Sčítaním týchto rovností a úpravou dostaneme
$a_nB^n+\dots+a_1B+a_0I=P(a_nA^n+\dots+a_1A+a_0I)\inv P$,
čo je presne rovnosť
$f(B)=Pf(A)\inv P$.

4) Ak $A$ a $B$ sú podobné a $f(x)$ je polynóm, tak $f(A)=0$ $\Leftrightarrow$ $f(B)=0$.

Spoiler:

Stačí si uvedomiť, že jediná matica podobná s nulovou maticou je nulová matica.
Alebo môžeme použiť tiež $f(B)=Pf(A)\inv P=P0\inv P = 0$.

Ak sme si už uvedomili, že podobné matice nulujú rovnaké polynómy, tak aj polynóm najmenšieho možného stupňa, v ktorom sa vynulujú, musí byť rovnaký.

[Martin Sleziak]

Pretože sa takéto tvrdenia viackrát objavili v odovzdaných písomkách, tak zdôrazním, že ak dve matice majú rovnaký charakteristický polynóm, z toho ešte nevyplýva, že musia byť podobné.

Vedeli by ste nájsť nejaký príklad matíc takých, že $\chi_A(x)=\chi_B(x)$ a tieto matice nie sú podobné? Vedeli by ste nájsť príklad matíc, ktoré nie sú podobné, ale platí pre ne $\chi_A(x)=\chi_B(x)$ aj $m_A(x)=m_B(x)$, t.j. zhodujú sa charakteristické aj minimálne polynómy, ale tieto matice nie sú podobné.

Ak na nejaké kontrapríklady pre jedno či druhé tvrdenie prídete, môžete ich napísať sem na fórum. (Kontrapríklad pre charakteristické polynómy by nemal byť ťažký. O čosi náročnejšia úloha je nájsť kontrapríklad, kde sa zhodujú minimálny aj charakteristický polynóm. Ale ani to nie je až také ťažké teraz, keď už vieme niečo o Jordanovom normálnom tvare a o tom, ako súvisí s minimálnym polynómom.)