Cvičenia LS 2014/15 - 1MAT+1PMA1

[Martin Sleziak]

11. týždeň

Povinné cviko: (28.4.)
Riešili sme PÚ8.
Popritom sme si na kvadratických formách, ktoré sa tam vyskytli, ukázali dva spôsoby ako previesť danú kvadratickú formu na diagonálny (prípadne kanonický) tvar. (Pomocou dopĺňania na štvorec, pomocou riadkových a stĺpcových úprav.) A tiež to, ako nájsť regulárnu maticu $P$, pre ktorú platí $PAP^T=D$ resp. $PDP^T=A$.

Výberové cviko: (30.4.)
Okrem písomky sme stihli už len prepočítať nejaké príklady na prevod kvadratickej formy na kanonický tvar. Konkrétne úlohy 1b a 2 z http://msleziak.com/vyuka/2014/lag2/07kvadform.pdf

[Martin Sleziak]

12. týždeň

Povinné cviko: (5.5.)
Preriešili sme PU10 (vrátane jednej hviezdičkovej úlohy).

Výberové cviko: (7.5.)
Vrátili sme sa k determinantom blokových matíc. Postupne sme si ukázali, že platí
$\begin{vmatrix}
A & 0 \\
0 & I \\
\end{vmatrix}=|A|
$, $\begin{vmatrix}
I & 0 \\
0 & B \\
\end{vmatrix}=|B|
$, $\begin{vmatrix}
A & 0 \\
0 & B \\
\end{vmatrix}=|A|\cdot|B|
$
$\begin{vmatrix}
A & 0 \\
B & I \\
\end{vmatrix}=|A|
$, $\begin{vmatrix}
I & 0 \\
B & C \\
\end{vmatrix}=|C|
$, $\begin{vmatrix}
A & 0 \\
B & C \\
\end{vmatrix}=|A|\cdot|C|
$,
$\begin{vmatrix}
A & B \\
C & D \\
\end{vmatrix}=|A|\cdot|D-CA^{-1}B|
$
(To je vlastne prvá úloha z http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/u10.pdf )

Ešte sme sa vrátili k tomu, ako nájsť kanonický tvar kvadratickej formy.

Ortogonálna podobnosť - úloha nájsť ortogonálnu maticu $P$ takú, že $PAP^T=D$, kde $D$ je diagonálna, pre danú symetrickú maticu $A$. (Viacero takých úloh je v 07kvadform.pdf, my sme stihli vyriešiť zo dve.)

[Martin Sleziak]

12. týždeň

Povinné cviko: (12.5.)
Preriešili sme PU11

Výberové cviko: (14.5.)
Niektoré príklady z http://msleziak.com/vyuka/2014/lag2/08krivky.pdf
Ukázali sme, ako nájsť transformáciu (rotáciu a posunutie), ktoré prevedie krivky 2. rádu na kanonický tvar (úloha 1a).
Trochu sme sa pozreli na minimálne a maximálne hodnoty, ktoré môže kvadratická forma nadobudnúť na kružnici/guli (úlohy 1a, 1f).
Potom som ešte chvíľu rozprával o tom, ako súvisí kladná definitnosť s tým, či nejaká funkcia nadobúda v danom bode maximum/minimum. Zatiaľ vieme, ako to funguje aspoň pre kvadratické formy. Keď sa naučíte niečo z analýzy viac premenných, tak budete podobné veci vedieť rátať pre diferencovateľné funkcie. Pridám aspoň linku na WIkipédiu, ak si o tom niekde chcete prečítať viac: Second partial derivative test.

Budúci týždeň je na výberovom cviku posledná malá písomka. Bude z kvadratických foriem - mali by ste o nich vedieť prinajmenšom také štandardné veci, ako sme robili. (Upraviť na kanonický tvar, kladná definitnosť, ortogonálna podobnosť, ...)

[Martin Sleziak]

13. týždeň

Povinné cviko: (19.5.)
Riešili sme PU12.
* Prvá úloha sa týkala dôkazu vety, ktorá bola na prednáške. Vlastne išlo iba o dôkaz, že pre symetrickú maticu sú vlastné vektory k rôznym vlastným hodnotám na seba kolmé: viewtopic.php?t=1691
* Potom sme sa chvíľu rozprávali o tom, ako nájsť stred kužeľosečky zadanej rovnicou, pretože takáto vec sa nám hodí v ďalších úlohách.
* Z úloh týkajúcich sa kužeľosečiek sme stihli už len druhú a štvrtú. K tretej úlohe sa už nebudem vracať, keďže úlohu takéhoto typu sme už riešili aj minulý štvrtok na výberovom cviku, jednu sme spravili na tomto cviku a dal som vám riešený príklad aj sem na fórum: viewtopic.php?f=29&t=686 (Na štvrtok by teda zostali najmä veci týkajúce sa duálnych priestorov. Rád by som dokončil úlohy z PU12 a PU13. Ľudia, čo zatiaľ nemajú hodnotenie za prednáškové úlohy, môžu ešte skúsiť vo štvrtok odprezentovať niektorú úlohu alebo odovzdať nejaké úlohy písomne - z tých ktoré ste odo mňa dostali.)

Výberové cviko: (19.5.):
Po písomke sme sa venovali duálny priestorom. Doriešili sme zvyšok PU12 a prvú úlohu z PU13. (Rozšírenú o jednu podobnú ekvivalenciu - tak ako je sformulovaná úloha 2 tu: http://msleziak.com/vyuka/2014/lag2/09dual.pdf )
Z PU13 sme teda nestihli iba úlohu o tenzorových súčinoch - tá je však taká, že to vyjde viac-menej priamo z definície.