Najprv posununie, potom otočenie
Ak chceme začať posunutím, potrebujeme zistiť súradnice stredu. Na cviku sme sa naučili (môžete sa
pozrieť aj sem), že stred nájdeme riešením sústavy rovníc
$$\begin{align*}
7x_1 + 8x_2 -7 &=0\\
8x_1 -23x_2 -8 &=0
\end{align*}$$
ktorá má jediné riešenie $x_1=1$, $x_2=0$.
Teda posunutie je určené predpisom
$$
\begin{align*}
x_1&=y_1+1\\
x_2&=y_2
\end{align*}
$$
Opačným smerom máme transformáciu
$$
\begin{align*}
y_1&=x_1-1\\
y_2&=x_2
\end{align*}
$$
Po dosadení dostaneme
$$
\begin{multline*}
7x_1^2+16x_1x_2-23x_2^2-14x_1-16x_2-218 =\\=
7(y_1+1)^2+16(y_1+1)y_2-23y_2^2-14(y_1+1)-16y_2-218 =\\=
7(y_1^2+2y_1+1)+16(y_1+1)y_2-23y_2^2-14(y_1+1)-16y_2-218 =\\=
7y_1^2 + 16 y_1y_2 -23 y_2^2 +7-14-218 =
7y_1^2 + 16 y_1y_2 -23 y_2^2 - 225
\end{multline*}
$$
Môžeme si všimnúť, že kvadratická časť sa nezmenila, lineárne členy vypadli a absolútny člen je presne hodnota $7x_1^2+16x_1x_2-23x_2^2-14x_1-16x_2-218$ po dosadení stredu $x_1=1$, $x_2=0$. (Takto to musí vyjsť vždy, ak sme sa nepomýlili pri výpočte stredu.)
Teraz ešte potrebujeme nájsť vhodné otočenie. Na to nájdeme vlastné čísla a vlastné vektory matice $A=
\begin{pmatrix}
7 & 8 \\
8 &-23
\end{pmatrix}
$.
Máme $\chi_A(x)=(x-7)(x+23)-64=x^2+16x-225=(x+25)(x-9)$.
Vlastné čísla sú teda $9$ a $-25$.
Vlastné vektory k $9$ sú násobky vektora $(4, 1)$, veľkosť 1 má vlastný vektor $\frac1{\sqrt{17}}(4,1)$.
Vlastné vektory k $-25$ sú násobky vektora $(1,-4)$, po vynormovaní máme vektor $\frac1{\sqrt{17}}(1,-4)$.
Tým sme zistili, že pre ortogonálnu maticu $P=\frac1{\sqrt{17}}
\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
1 &-4
\end{pmatrix}
$ platí $PAP^T=D=\operatorname{diag}(9,-25)$.
(Drobná poznámka: Matica $P$ má záporný determinant, teda v skutočnosti neurčuje otočenie, ale zloženie otočenia a osovej symetrie. Pre účely tejto úlohy to je však rovnako dobrá transformácia; pretože ide o symetriu podľa niektorej z osí hyperboly. Ak chcete použiť naozaj otočenie, môžete jeden z vlastných vektorov nahradiť opačným, teda by ste napríklad pracovali s maticou $P=\frac1{\sqrt{17}}
\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
-1 & 4
\end{pmatrix}
$.)
To znamená, že transformácia premenných $\vec y=\vec zP$ resp. $\vec z=\vec yP^T$ prevedie našu kvadratickú formu na diagonálny tvar $9z_1^2-25z_2^2+225=0$.
Ak chceme, môžeme to skontrolovať tak, že naozaj dosadíme
$$
\begin{align*}
y_1&=\frac{4z_1+z_2}{\sqrt{17}}\\
y_2&=\frac{z_1-4z_2}{\sqrt{17}}
\end{align*}
$$
do našej kvadratickej formy. (Ale ak sme sa nepomýlili pri výpočte vlastných vektorov a odvodení ortogonálnej matice a substitúcie, ktorá jej zodpovedá, tak vieme, že to vyjde takto.)
Transformácia premenných opačným smerom je
$$
\begin{align*}
z_1&=\frac{4y_1+y_2}{\sqrt{17}}=\frac{4x_1+x_2-4}{\sqrt{17}}\\
z_2&=\frac{y_1-4y_2}{\sqrt{17}}=\frac{x_1-4x_2-1}{\sqrt{17}}
\end{align*}
$$
Môžeme vyjadriť aj pôvodné súradnice pomocou nových
$$
\begin{align*}
x_1&=y_1+1=\frac{4z_1+z_2}{\sqrt{17}}+1\\
x_2&=y_2=\frac{z_1-4z_2}{\sqrt{17}}
\end{align*}
$$
Pri týchto premenných dostaneme rovnicu krivky do tvaru
$$
\begin{align*}
9z_1^2-25z_2^2-225&=0\\
\frac{z_1^2}{25}-\frac{z_2^2}9&=1
\end{align*}
$$