Schurova veta :: otazka ku dokazu

[gafurov1]

pasaz z dokazu Shurrovej vety (veta 3.2.9): "$ch_A = (a_n - x) ch_B$, ( lebo matice $A$ a $B$ su podobne)". Ako mozu byt podobne, ked A ma rozmery NxN a B - (N-1) x (N-1) ?!

Hm, v skutocnosti na tom nezalezi. Staci povedat, ze $ch_A(x) = (a_n - x) * ch_B(x)$ vyplyva z Laplaceovho rozvoja $ch_A(x)$ podla posledneho riadku. A zvysne uvahy su teda platne.

Hmm, ked sa trochu zamyslam: ako vie vobec pomoct to, ze matice A a B su podobne. Ved by sa vtedy $ch_A$ malo presne rovnat $ch_B$.

[Martin Sleziak]

pasaz z dokazu Shurrovej vety (veta 3.2.9): "$ch_A = (a_n - x) ch_B$, ( lebo matice $A$ a $B$ su podobne)". Ako mozu byt podobne, ked A ma rozmery NxN a B - (N-1) x (N-1) ?!

Máte pravdu, $A$ a $B$ nemôžu byť podobné.
Keby som to upravil na "$A$ a $A'$ sú podobné", tak už by to bola pravda a snáď by aj vysvetľovalo, prečo platí uvedený vzťah medzi charakteristickými polynómami.

Hm, v skutocnosti na tom nezalezi. Staci povedat, ze $ch_A(x) = (a_n - x) * ch_B(x)$ vyplyva z Laplaceovho rozvoja $ch_A(x)$ podla posledneho riadku. A zvysne uvahy su teda platne.

Prípadne by sme mohli povedať, že $ch_A(x)=ch_{A'}(x)=(a_n - x) ch_B(x)$, kde prvá rovnosť vyplýva z podobnosti a druhá z Laplaceovho rozvoja (keby sme to chceli rozpitvať detailnejšie).

[Rabatin]

Mna by zaujimalo, co v tom dokaze znamena hviezdicka v $Q^{*}$. Nikde inde v skriptach to oznacenie nie je. Moj tip je, ze to zname nieco v zmysle $Q^{*} = Q^{T} = Q^{-1}$. Mam pravdu?

[Martin Sleziak]

Mna by zaujimalo, co v tom dokaze znamena hviezdicka v $Q^{*}$. Nikde inde v skriptach to oznacenie nie je. Moj tip je, ze to zname nieco v zmysle $Q^{*} = Q^{T} = Q^{-1}$. Mam pravdu?

Malo by tam všade byť $Q^T$. (A ako správne píšete, v prípade ortogonálnej matice je $Q^T=Q^{-1}$.
Označenie $Q^*$ sa používa pre maticu, ktorá je komplexne združená a transponovaná: https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_transpose
(A takú maticu by sme skutočne často používali, ak by sme niektoré z vecí o symetrických maticiach a kvadratických formách, ktoré sme preberali na tejto prednáške, chceli robiť aj nad $\mathbb C$, nielen nad $\mathbb R$.)