Úloha 1.2.9(2) - komutatívna grupa na trojprvkovej množine

[Martin Sleziak]

Jedna z prednáškových úloh bola:

Na trojprvkovej množine $\{a,b,c\}$ definujte asociatívnu binárnu operáciu tak, aby bola komutatívna, mala neutrálny prvok a aby ku každému prvku existoval v $M$ inverzný prvok.

Inak: Chceme na tejto množine definovať komutatívnu grupu. (Zadanie je takýmto spôsobom formulované zrejme preto, že úloha je uvedená ešte pred definíciou grupy.)

Napíšem sem tri riešenia. Samozrejme, ak by bolo niečo nejasné, tak sa môžete priamo v tomto topicu opýtať. A ak máte nápad na nejaké iné riešenie, tak ho tiež môžete napísať sem.

[Martin Sleziak]

Riešenie 1:

Najjednoduchšie riešenie je pozrieť sa na tabuľku komutatívnej grupy $(Z_3,+)$. (Že $(Z_m,+)$ je grupa pre ľubovoľné prirodzené číslo $m$ viete z prednášky - v LAG1 je to Príklad 1.3.4(3).)
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
& 0 & 1 & 2 \\ \hline\hline
0 & 0 & 1 & 2 \\\hline
1 & 1 & 2 & 0 \\\hline
2 & 2 & 0 & 1 \\\hline
\end{array}$$
a vlastne ju iba "skopírovať"
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
& a & b & c \\ \hline\hline
a & a & b & c \\\hline
b & b & c & a \\\hline
c & c & a & b \\\hline
\end{array}
$$

Pretože tabuľky sú "rovnaké" a jedna z nich je tabuľka komutatívnej grupy, tak aj druhá z nich je komutatívna grupa.

Komentár k riešeniu

Snáď je intuitívne jasné, čo znamená "rovnaké". (Všade sme vlastne len premenovali prvky, $0$ sme nahradili $a$, $1\mapsto b$, $2\mapsto c$.)

Medzičasom ste sa už naučili, čo sú homomorfizmy a izomorfizmy. Takže teraz už viete, že to vlastne znamená, že ide o izomorfné grupy.

Takáto idea je často užitočná. O niečo detailnejšie som sa to snažil vysvetliť tu: viewtopic.php?t=495

[Martin Sleziak]

Skúsme teraz využiť zákony o krátení v grupe. (So skupinou, ktorú cvičím sa k nim dostanem až na budúcom cvičení. Neviem, či druhá skupina ich už videla.) Aj ak ste ich zatiaľ nemali, tak na tomto mieste stačí vedieť, že v tabuľke grupovej operácie sa nemôže opakovať v jednom riadku viackrát ten istý prvok. To isté je pravda aj o stĺpcoch.

Riešenie 2:

Zvoľme si, že neutrálny prvok bude $a$. (Prvky $a$, $b$, $c$ sú zatiaľ úplne rovnocenné.)

Dostávame zatiaľ:
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
& a & b & c \\ \hline\hline
a & a & b & c \\\hline
b & b & & \\\hline
c & c & & \\\hline
\end{array}
$$

Ak už poznáme zákony o krátení, tak $b*c$ môže byť jedine $a$. (Ak by to bolo $b$, opakovali by sa mi prvky v riadku $b$. Ak by to bolo $c$, opakovali by sa mi prvky v stĺpci $c$.) Zatiaľ teda máme:
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
& a & b & c \\ \hline\hline
a & a & b & c \\\hline
b & b & & a \\\hline
c & c & a & \\\hline
\end{array}
$$

V tejto tabuľke už v každom riadku zostáva jediná možnosť ako ho dokončiť, ak sa prvky nemajú opakovať.
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
& a & b & c \\ \hline\hline
a & a & b & c \\\hline
b & b & c & a \\\hline
c & c & a & b \\\hline
\end{array}
$$

Zistili sme, že toto je jediná možnosť, ako môže hľadaná binárna operácia vyzerať. Otázka je, či takto dostaneme skutočne komutatívnu grupu.

Mohli by sme sa opäť odvolať na argument z predošlého riešenia -- je to "rovnaká" tabuľka ako pre $(Z_3,+)$. Ale dá sa to overiť aj bez tohoto nápadu.

Z tabuľky ľahko vidno, že máme neutrálny prvok, inverzné prvky a binárna operácia je komutatívna.

Mali by sme skontrolovať platnosť asociatívneho zákona. To by znamenalo kontrolovať $3^3=27$ trojíc.

Ľahko však zistíme, že ak je jeden z prvkov $a$ (neutrálny prvok), tak pre túto trojicu asociatívnosť funguje. Napríklad
$$\begin{align*}
a*(x*y)&=x*y\\
(a*x)*y&=x*y
\end{align*}$$
platí pre ľubovoľné $x$, $y$. Podobne to bude fungovať ak $a$ bude na niektorej z ostatných dvoch pozícií.

Stačí teda skontrolovať tie trojice, kde sa vyskytujú iba prvky $b$ a $c$, teda nám zostalo $2^3$ trojíc.

Rovnosti
$$\begin{align*}
b*(b*b)&=(b*b)*b\\
c*(c*c)&=(c*c)*c
\end{align*}$$
vyplývajú z komutatívnosti.

Podobne z komutatívnosti vieme dostať $b*(c*b)=(b*c)*b$, ak si uvedomíme, že
$$b*(c*b)=b*(b*c)=(b*c)*b.$$
(Využili sme $c*b=b*c$.)

Prakticky rovnako, iba sa vymenia úlohy prvkov $b$ a $c$, dostaneme
$$c*(b*c)=(c*b)*c.$$

Pre ostatné štyri trojice už skúsme jednoducho počítať tak, že si prečítame výsledky operácií z tabuľky:
$$\begin{gather*}
b*(c*c)=b*b=c\\
(b*c)*c=a*c=c\\
b*(b*c)=b*a=b\\
(b*b)*c=c*c=b\\
c*(b*b)=c*c=b\\
(c*b)*b=a*b=b\\
c*(c*b)=c*a=c\\
(c*c)*b=b*b=c
\end{gather*}$$

[Martin Sleziak]

Táto úloha je v LAG1 zadaná ešte skôr, než sa vyskytol pojem grupy. Tak sa môžeme skúsiť zamyslieť aj nad tým, či by sme ju vedeli vyriešiť aj keby sme nevedeli nič o grupe $(Z_3,+)$, ktorú sme využili v prvom riešení a keby sme nepoznali ani zákony o krátení, ktoré sme využili v druhom riešení.

Riešenie 3:
Najprv si vyberieme $a$ ako neutrálny prvok a dostaneme:
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
& a & b & c \\ \hline\hline
a & a & b & c \\\hline
b & b & & \\\hline
c & c & & \\\hline
\end{array}
$$

Ďalej chceme, aby každý prvok mal inverzný. (A vieme, že pre asociatívnu operáciu je inverzný prvok určený jednoznačne.)

To znamená, že máme iba dve možnosti. Prvá z nich je $b^{-1}=b$ a $c^{-1}=c$. Druhá z nich je $b^{-1}=c$ a $c^{-1}=b$.

Prvá možnosť. Zatiaľ máme takúto tabuľku:
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
& a & b & c \\ \hline\hline
a & a & b & c \\\hline
b & b & a & \\\hline
c & c & & a \\\hline
\end{array}
$$

Teraz si môžeme všimnúť, že z asociatívnosti dostaneme:
$$b*(b*c)=(b*b)*c=a*c=c.$$
To znamená, že v riadku $b$ sa niekde musí vyskytnúť prvok $c$. Už máme iba jedno voľné miesto, teda máme $b*c=c$.

Podobne dostaneme
$$c*(c*b)=(c*c)*b=a*b=b.$$
Teraz vidíme, že v riadku $c$ sa musí vyskytnúť prvok $b$, a teda $c*b=b$.

Zosumarizovať to opäť môžeme v tabuľke:
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
& a & b & c \\ \hline\hline
a & a & b & c \\\hline
b & b & a & c \\\hline
c & c & b & a \\\hline
\end{array}
$$
Očividne táto binárna operácie nie je komutatívna, teda v tomto prvom prípade nemôžeme dostať binárnu operáciu, ktorá by vyhovovala podmienkam zadania.

Môžeme sa presvedčiť i o tom, že táto operácia nie je ani asociatívna. (Aj keď pre zadanú úlohu už je tento fakt irelevantný.)
$$\begin{gather*}
b*(c*b)=b*b=a\\
(b*c)*b=c*b=b
\end{gather*}$$

Druhá možnosť. Treba sa ešte pozrieť na takýto prípad:
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
& a & b & c \\ \hline\hline
a & a & b & c \\\hline
b & b & & a \\\hline
c & c & a & \\\hline
\end{array}
$$
Z asociatívnosti dostaneme, že
$$b*(c*c)=(b*c)*c=a*c=c,$$
teda v riadku $b$ musí byť niekde prvok $c$. Znamená to, že $b*b=c$.

Opäť použitím asociatívnosti máme
$$c*c=c*(b*b)=(c*b)*b=a*b=b.$$
Dostali sme takúto tabuľku:
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
& a & b & c \\ \hline\hline
a & a & b & c \\\hline
b & b & c & a \\\hline
c & c & a & b \\\hline
\end{array}
$$

Opäť sme v situácii, že máme jediného kandidáta na možné riešenie. Treba skontrolovať, či táto operácia je komutatívna, má neutrálny prvok a každý prvok má inverzný -- tieto veci sú ľahké. Treba skontrolovať aj asociatívnosť - opäť to môžeme urobiť tak, ako sme to robili v predošlých dvoch riešeniach.