Komplexné čísla ZS 2015/16

[Martin Sleziak]

Na prednáške som sa pýtal, do akej miery ovládať zo strednej školy (alebo prípravného sústredenia) komplexné čísla. Drvivá väčšina z vás sa prihlásila, že o nich niečo vie. Ale aj tak sa našlo pomerne veľa záujemcov, ktorí by si vypočuli nejaké základné veci o komplexných číslach.

Komplexné čísla sú určite vec, ktorú by mal ovládať každý absolvent matfyzu. Na tej prednáške by som prebral zhruba to, čo je v dodatku venovanom komplexným číslam v texte, ktorý som vám dal k prednáške.

• Algebraický tvar komplexného čísla, počítanie s ním.
• Goniometrický tvar komplexné čísla, prevod medzi algebraickým a goniometrickým tvarom, počítanie s goniometrickým tvarom - Moivrova veta.
• Riešenie kvadratických rovníc (s reálnymi aj komplexným koeficientami.)
• Riešenie binomických rovníc

Čiže je na vás pozrieť sa, či veci, ktoré tam sú ovládate a podľa toho sa rozhodnúť, či by takáto prednáška bola užitočná. To čo tam je, sa dá stihnúť za necelé dve prednášky.

Môžem to ale ešte aj stručne zhrnúť takto - ak viete riešiť úlohy takého typu aké tu vymenujem, tak sa tam asi nedozviete nič nové:

• $(1+\sqrt 3i).(\sqrt 3+i)=$?
• Nájdite goniometrický tvar čísla $(1+i)(1-i)$.
• Nájdite komplexné riešenia rovnice a) $x^2-4x+13=0$; b) $x^2-(1+2i)x-3+i=0$. (T.j. kvadratické rovnice s reálnymi a komplexnými koeficientami.)
• Vyriešte rovnice: a) $z^2=\frac{1-3i}{1+3i}-\frac15+\frac35i$; b) $z^6=i$; c) $\frac{z^4}8+i\sqrt3=-1$; d) $z^4=1+i$. (T.j. rovnice tvaru $x^n=b$, kde $n$ je zadané prirodzené číslo a $b$ je zadané komplexné číslo.)
• Viete pomocou komplexných čísel dostať vzorec pre $\cos(x+y)$?

Dohodli sme sa, že vhodný termín je v pondelok, keď od 14.00 máte v rozvrhu voľno a súčasne sú voľné (aspoň podľa oficiálneho rozvrhu) aj všetky miestnosti. Ak by sme chceli iný termín, tak sa treba pozrieť aj na to, či nájdeme voľnú miestnosť. Keďže najbližší pondelok tam už máte vstupné testy z nejakého predmetu, ešte sa presne dohodneme, kedy by táto prednáška bola.

Samozrejme, tým že budete počúvať dve hodiny niečo o komplexných číslach si ich určite neosvojíte. Na to, aby si človek zvykol s nimi robiť a vedel ich používať, určite treba, aby si aspoň samostatne vyskúšal niečo s nimi vyrátať. (Nejaké cvičenia sú aj v texte k prednáške v časti o komplexných číslach.)

[Martin Sleziak]

Na prednášky o komplexných číslach som rezervoval poslucháreň B na pondelky 5.10. a 12.10 od 14-tej.
Určite to stihneme za dve 90-minútové prednášky. (Pravdepodobne ten druhýkrát nám bude stačiť aj o dosť menej času.)

[Martin Sleziak]

Viac-menej som sa držal toho, čo mám o komplexných číslach v texte k prednáške.

Zadefinovali sme komplexné čísla a ukázali, ako sa s nimi počíta (súčet, súčin, delenie). Ukázali sme si, že komplexné čísla tvoria pole.
Ukázali sme si goniometrický tvar komplexného čísla a ako sa dá prevádzať medzi goniometrickým tvarom a algebraickým tvarom. Moivrovu vetu som stihol vysloviť a dokázať prípad, že veľkosti oboch čísel, s ktorými pracujeme, sú jednotkové. Nabudúce dokončíme dôkaz - pozrieme sa na ľubovoľné veľkosti. Moivrova veta nám vlastne hovorí o geometrickom význame súčinu komplexných čísel, povedali sme si aj to, že súčet komplexných čísel zodpovedá súčtu vektorov.

Nehovoril som nič o komplexne združených číslach (definícia B.1.7 a úloho B.1.1 v poznámkach) - vrátim sa k nim nabudúce.

[Martin Sleziak]

Dnes som na začiatku povedal niečo o komplexne združených číslach a dokončil dôkaz Moivrovej vety.
Potom sme si ukázali, ako sa dajú riešiť kvadratické a binomické rovnice v komplexných číslach.

V texte k prednáške je ešte zopár ďalších vecí, ktoré som nespomenul:

• Základná veta algebry - každý nekonštantný polynóm má v $\mathbb C$ koreň.
• Zápis komplexných čísel pomcou $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$.
• Komplexné čísla sa "nedajú usporiadať".

Ak ste však komplexné čísla nemali, tak lepšie ako pozerať si tieto veci - ktoré sú do istej miery navyše - je asi vyskúšať si zopár príkladov na tie veci, ktoré som stihol porozprávať.