Úlohy na overenie, či ide o skalárny súčin

[Martin Sleziak]

$\newcommand{\skl}[2]{\langle{#1},{#2}\rangle}\newcommand{\skal}[2]{\skl{\vec{#1}}{\vec{#2}}}$

Ukázali by sme si zopár príkladov na overenie, či zadaný predpis určuje skalárny súčin.

Asi sa oplatí zopakovať definíciu skalárneho súčinu.

• $\skal\alpha\beta=\skal\beta\alpha$,
• $\skl{\vec\alpha+\vec\beta}{\vec\gamma}=\skal\alpha\gamma+\skal\beta\gamma$,
• $\skl{c\vec\alpha}{\vec\beta}=c\skal\alpha\beta$,
• ak $\vec\alpha\ne\vec0$, tak $\skal\alpha\alpha>0$.

Na to, aby sme ukázali, že ide o skalárny súčin, musíme skontrolovať, že platia všetky uvedené vlastnosti.

Ak nejde o skalárny súčin, mali by sme nájsť konkrétny príklad vektorov, pre ktoré niektorá z týchto vlastností neplatí.

Ako zistíte keď prerátate pár príkladov, overenie štvrtej vlastnosti býva o čosi náročnejšie než pre ostatné vlastnosti. Pokiaľ nejde o skalárny súčin, pri troche cviku sa dá hneď zbadať, že niektorá z prvých troch vlastností neplatí. Každopádne ak ich začnete overovať a zistíte, že sa vám nedarí, tak pri tom väčšinou prídete aj na to, ako nájsť vhodný kontrapríklad.

[Martin Sleziak]

Úloha: Zistite, či predpis $\skal\alpha\beta=a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+2a_2b_2$ určuje skalárny súčin na $\mathbb R^2$.

Túto prvú úlohu skúsme urobiť podrobne. Overíme jednotlivé vlastnosti pre vektory $\vec\alpha=(a_1,a_2)$, $\vec\beta=(b_1,b_2)$ a $\vec\gamma=(c_1,c_2)$.

Prvá vlastnosť:
$\skal\alpha\beta=a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+2a_2b_2$
$\skal\beta\alpha=b_1a_1+b_1a_2+b_2a_1+2b_2a_2=a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+2a_2b_2$
Zistili sme, že táto vlastnosť je splnená.

Druhá vlastnosť:
$\skl{\vec\alpha+\vec\beta}{\vec\gamma}=(a_1+b_1)c_1+(a_1+b_1)c_2+(a_2+b_2)c_1+2(a_2+b_2)c_2$
$\skal\alpha\gamma+\skal\beta\gamma=a_1c_1+a_1c_2+a_2c_1+2a_2c_2+b_1c_1+b_1c_2+b_2c_1+2b_2c_2$
Vidíme, že po roznásobení a preusporiadaní členov z prvého výrazu dostaneme druhý. Teda aj druhá vlastnosť platí pre ľubovoľné vektory z $\mathbb R^2$.

Tretia vlastnosť:
$\skl{c\vec\alpha}{\vec\beta}=ca_1b_1+ca_1b_2+ca_2b_1+c2a_2b_2$
$c\skal\alpha\beta=c(a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+2a_2b_2)$
Aj táto vlastnosť platí.

Štvrtá vlastnosť:
Máme $\skl\alpha\alpha=a_1^2+2a_1a_2+a_2^2$.
Doplnením na štvorec vieme tento výraz upraviť na $\skl\alpha\alpha=(a_1^2+2a_1a_2+a_2^2)+a_2^2=(a_1+a_2)^2+a_2^2$.
Vidíme teda, že $\skl\alpha\alpha\ge0$ pre ľubovoľný vektor $\vec\alpha$. (Je to súčet druhých mocnín reálnych čísel.)

Kedy sa takýto výraz rovná nule? Na to sa nutne musia rovnať nule obe nezáporné čísla, ktoré sčitujeme, t.j.
$(a_1+a_2)^2=a_2^2=0$.
Táto rovnosť platí práve vtedy, keď
$a_1+a_2=a_2=0$.
Toto je veľmi jednoduchá homogénna sústava dvoch rovníc, ľahko vidíme, že jediné riešenie je $a_1=a_2=0$.

Zistili sme, že pre každý vektor $\vec\alpha\ne(0,0)$ platí $\skal\alpha\alpha\ne0$. Spolu s už dokázanou nerovnosťou $\skal\alpha\alpha\ge0$ dostávame, že pre nenulové vektory platí $\skal\alpha\alpha>0$.

[Martin Sleziak]

Úloha: Zistite, či predpis $\skal\alpha\beta=a_1b_1+2a_1b_2+2a_2b_1+4a_2b_2$ určuje skalárny súčin na $\mathbb R^2$.

Tentokrát preskočíme overenie prvých troch vlastností - je podobné ako v predošlej úlohe, zistili by sme, že platia.

Pozrime sa na štvrtú vlastnosť:
Máme $\skal\alpha\alpha=a_1^2+4a_1a_2+4a_2^2=(a_1^2+2a_2)^2$.
Vidíme, že $\skal\alpha\alpha\ge0$ a nule sa rovná práve vtedy, keď $a_1+2a_2=0$. Lenže táto rovnica má aj nenulové riešenia, napríklad $a_1=2$, $a_2=-1$.

Môžeme sa presvedčiť, že pre $\vec\alpha=(2,-1)$ skutočne dostaneme $\skal\alpha\alpha=4-4-4+4=0$.

Teda štvrtá vlastnosť neplatí a nejde o skalárny súčin.

(Ak by ste tento príklad odovzdávali ako domácu úlohu, na písomke, či na skúške, tak sa stačí venovať štvrtej vlastnosti a ukázať, že neplatí. Dôležité je však vždy uviesť konkrétny kontrapríklad - to, že sa vám niektorú z vlastností nepodarilo dokázať, ešte totiž nezaručuje, že tá vlastnosť naozaj neplatí.)

[Martin Sleziak]

Úloha: Zistite, či predpis $\skal\alpha\beta=a_1b_1+a_1b_2+2a_2b_1+a_2b_2$ určuje skalárny súčin na $\mathbb R^2$.

Ak by ste overovali jednotlivé vlastnosti, zistili by ste, že pri druhej vlastnosti vám to nevychádza. A takisto by ste asi zbadali, že problém môže nastať iba ak $a_1b_2\ne 0$ alebo $a_2b_1\ne 0$. (Vyskúšajte si to!)

Skutočne ak vyskúšame $a_1=b_2=1$ a $a_2=b_1=0$, t.j. $\vec\alpha=(1,0)$ a $\vec\beta=(0,1)$, tak dostaneme $\skal\alpha\beta=1$ a $\skal\beta\alpha=2$. Teda druhá vlastnosť z definície naozaj neplatí.

Úloha: Zistite, či predpis $\skal\alpha\beta=a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+a_2b_2+1$ určuje skalárny súčin na $\mathbb R^2$.

V tomto prípade neplatí tretia vlastnosť. Ak napríklad zvolíme $c=2$ a $\vec\alpha=\vec\alpha=(0,0)$, tak dostaneme $c\skal\alpha\beta=2$ a $\skl{c\vec\alpha}{\vec\beta}=1$.

Tiež ak vieme odvodiť, že pre ľubovoľný skalárny súčin platí $\skal00=0$ (čo by malo ísť pomerne ľahko priamo z definície, môžete si to vyskúšať), tak hneď vidíme, že tento predpis nedefinuje skalárny súčin, lebo $\skal00=1$.

[Martin Sleziak]

Vyskúšajme si aspoň jeden príklad v $\mathbb R^3$.

Úloha: Zistite, či predpis $\skal\alpha\beta=a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+a_1b_3+a_3b_1+2a_2b_2+2a_2b_3+2a_3b_2+3a_3b_3$ určuje skalárny súčin na $\mathbb R^3$.

Opäť preskočíme prvé 3 podmienky, ktoré sa overia pomerne jednoducho a pozrieme sa iba na poslednú.

Opäť použijeme doplnenie na štvorec, teraz ho ale budeme musieť spraviť viackrát.
\begin{align*}
\skal\alpha\alpha=&a_1^2+2a_1a_2+2a_1a_3+2a_2^2+4a_2a_3+3a_3^2\\
=&(a_1^2+2a_1a_2+2a_1a_3+a_2^2+2a_2a_3+a_3^2)+a_2^2+2a_2a_3+2a_3^2\\
=&(a_1^2+a_2+a_3)^2+a_2^2+2a_2a_3+2a_3^2\\
=&(a_1^2+a_2+a_3)^2+(a_2^2+2a_2a_3+a_3^2)+a_3^2\\
=&(a_1^2+a_2+a_3)^2+(a_2+a_3)^2+a_3^2
\end{align*}
Znovu vidíme, že $\skal\alpha\alpha\ge0$ a nule sa rovná iba vtedy, keď $a_1+a_2+a_3=a_2+a_3=a_3=0$.

Ide teda o skalárny súčin.