10. týždeň:
Povinné cviko: (24.11.)
Stihli sme prednáškové úlohy 15 a 16: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/pu08.pdf
Výberové cviko: (27.11.)
Prešli sme prednáškové úlohy 17: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/pu09.pdf
Pri jednej z nich sme na chvíľu odbočili k otázke, či binomická veta funguje aj pre matice. (Povedali sme si, že funguje, ak ide o matice, ktoré komutujú. T.j. ak $AB=BA$, tak máme $(A+B)^n=A^n+\binom n1 A^{n-1}B + \binom n2 A^{n-2}B^2+ \dots + B^n$. Dokázali sme si to však iba pre $n=2$; pre vyššie mocniny by sa to dalo odvodiť indukciou.)
Potom sme ešte stihli narýchlo prejsť úlohu 2 z časti o maticiach zobrazení v http://msleziak.com/vyuka/2015/lag/10lzob.pdf
Detailné riešenie tohoto príkladu môžete nájsť tu ako úlohu 5.3.1: http://msleziak.com/vyuka/2015/alg/alg.pdf
Cvičenia ZS 2015/16 - 1PMA
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2015/16 - 1PMA
11. týždeň:
Povinné cviko: (1.12.) S výnimkou jednej úlohy sme stihli prejsť všetky prednáškové úlohy 18 a 19: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/pu10.pdf
Pri prvej úlohe sme sa porozprávali aj o výpočte inverznej matice. A tiež o tom, že pri počítaní inverznej matice takýmto spôsobom si vieme skúšku urobiť aj v strede výpočtu, nie iba na konci: viewtopic.php?t=531
Niektoré z úloh viedli vlastne na výpočet hodnosti v závislosti od parametra. Spomenul som, že pri takomto type úlohy sa niekedy dajú niekedy použiť aj determinanty, ako sa môžete pozrieť napríklad tu: viewtopic.php?t=782 a viewtopic.php?t=783
Výberové cviko: (4.12.)
Vrátili sme sa k prednáškovej úlohe, ktorú sme v utorok nestihli.
Venovali sme sa úlohám z http://msleziak.com/vyuka/2015/lag/10lzob.pdf
Ešte sme sa vrátili k lineárnym zobrazeniam - rátali sme počet (ľubovoľných/injektívnych/surjektívnych) lineárnych zobrazení vyhovujúcich daným podmienkam. (Úloha 4 v časti o maticiach zobrazení.)
Potom sme sa pozreli na výpočet jadra a obrazu. (Úloha 1 v časti o jadre a obraze.) Príklad takého typu je vyriešený aj tu: viewtopic.php?f=29&t=795
A tiež sme sa pozreli na úlohu 4 v tejto časti, ktorá hovorí niečo o jadre a obraze zobrazenia $f^2=f\circ f$.
Ukázali sme, že matice $AB$ a $BA$ majú rovnakú stopu. (Úloha 2 z časti o súčine matíc.)
Dohodli sme sa, že budúci týždeň je písomka.
Určite treba vedieť počítať inverznú maticu a maticu zobrazenia. (Rátajte s tým, že tam bude príklad takéhoto typu.)
A môže tam byť aj niečo z príkladov zameraných na súčin matíc.
Povinné cviko: (1.12.) S výnimkou jednej úlohy sme stihli prejsť všetky prednáškové úlohy 18 a 19: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/pu10.pdf
Pri prvej úlohe sme sa porozprávali aj o výpočte inverznej matice. A tiež o tom, že pri počítaní inverznej matice takýmto spôsobom si vieme skúšku urobiť aj v strede výpočtu, nie iba na konci: viewtopic.php?t=531
Niektoré z úloh viedli vlastne na výpočet hodnosti v závislosti od parametra. Spomenul som, že pri takomto type úlohy sa niekedy dajú niekedy použiť aj determinanty, ako sa môžete pozrieť napríklad tu: viewtopic.php?t=782 a viewtopic.php?t=783
Výberové cviko: (4.12.)
Vrátili sme sa k prednáškovej úlohe, ktorú sme v utorok nestihli.
Venovali sme sa úlohám z http://msleziak.com/vyuka/2015/lag/10lzob.pdf
Ešte sme sa vrátili k lineárnym zobrazeniam - rátali sme počet (ľubovoľných/injektívnych/surjektívnych) lineárnych zobrazení vyhovujúcich daným podmienkam. (Úloha 4 v časti o maticiach zobrazení.)
Potom sme sa pozreli na výpočet jadra a obrazu. (Úloha 1 v časti o jadre a obraze.) Príklad takého typu je vyriešený aj tu: viewtopic.php?f=29&t=795
A tiež sme sa pozreli na úlohu 4 v tejto časti, ktorá hovorí niečo o jadre a obraze zobrazenia $f^2=f\circ f$.
Ukázali sme, že matice $AB$ a $BA$ majú rovnakú stopu. (Úloha 2 z časti o súčine matíc.)
Dohodli sme sa, že budúci týždeň je písomka.
Určite treba vedieť počítať inverznú maticu a maticu zobrazenia. (Rátajte s tým, že tam bude príklad takéhoto typu.)
A môže tam byť aj niečo z príkladov zameraných na súčin matíc.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2015/16 - 1PMA
12. týždeň:
Povinné cviko: (8.12.) S výnimkou úloh 6.1.3(2) a 6.1.3(8) sme stihli prejsť všetky prednáškové úlohy 20 a 21: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/pu11.pdf
Pri úlohách o sústavách sme sa ešte raz rozprávali o tom, ako sa dá robiť skúška: viewtopic.php?f=29&t=522
(Takéto niečo som už kedysi spomínal, ale teraz, keď už viete ako súvisia riešenia homogénnej a nehomogénnej sústavy, už viete aj prečo to funguje.)
A tiež sme sa zastavili aj pri tom, že ak nám vyšli riešenia v rôznom tvare, ako viem skontrolovať, či sú to iba dve rôzne vyjadrenia tej istej množiny riešení. (Prípad, na ktorý sme sa pozerali, bol jednorozmerný, takže tam to vyšlo celkom ľahko.)
V súvislosti s determinantom sme sa trochu rozprávali o jeho geometrickom význame (až na znamienko predstavuje objem): viewtopic.php?f=29&t=555
Výberové cviko: (11.12.)
Po písomke sme sa stihli dostať k niektorým príkladom z http://msleziak.com/vyuka/2015/lag/11deter.pdf
Konkrétne sme stihli úlohy 1, 2 a špeciálny prípad úlohy 13 pre $a=b=1$. Niečo k riešeniu úlohy 13 aj k tomuto špeciálnemu prípadu je napísané tu: viewtopic.php?f=29&t=577
Ďalšie linky a poznámky
Ešte pridám nejaké linky, kde môžete vidieť, že s vedomosťami, ktoré už teraz máte, sa dajú vcelku ľahko robiť kadejaké užitočné veci.
* Tu je niečo o súvise matíc s komplexnými číslami a kvaterniónmi: viewtopic.php?t=571
* S pomocou lineárnej algebry sa dá asi o čosi ľahšie ukázať, že $F=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$ (s obvyklým sčitovaním a násobením) tvorí pole. (Toto som mohol spomenúť už skôr, lebo tam stačí vedieť niečo o lineárnej závislosti a nezávislosti.) Ak by sme chceli nielen ukázať, že to je pole, ale aj nájsť predpis pre inverzný prvok k $a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}$, tak nám môžu pomôcť determinanty a Cramerovo pravidlo: viewtopic.php?t=349
Povinné cviko: (8.12.) S výnimkou úloh 6.1.3(2) a 6.1.3(8) sme stihli prejsť všetky prednáškové úlohy 20 a 21: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/pu11.pdf
Pri úlohách o sústavách sme sa ešte raz rozprávali o tom, ako sa dá robiť skúška: viewtopic.php?f=29&t=522
(Takéto niečo som už kedysi spomínal, ale teraz, keď už viete ako súvisia riešenia homogénnej a nehomogénnej sústavy, už viete aj prečo to funguje.)
A tiež sme sa zastavili aj pri tom, že ak nám vyšli riešenia v rôznom tvare, ako viem skontrolovať, či sú to iba dve rôzne vyjadrenia tej istej množiny riešení. (Prípad, na ktorý sme sa pozerali, bol jednorozmerný, takže tam to vyšlo celkom ľahko.)
V súvislosti s determinantom sme sa trochu rozprávali o jeho geometrickom význame (až na znamienko predstavuje objem): viewtopic.php?f=29&t=555
Výberové cviko: (11.12.)
Po písomke sme sa stihli dostať k niektorým príkladom z http://msleziak.com/vyuka/2015/lag/11deter.pdf
Konkrétne sme stihli úlohy 1, 2 a špeciálny prípad úlohy 13 pre $a=b=1$. Niečo k riešeniu úlohy 13 aj k tomuto špeciálnemu prípadu je napísané tu: viewtopic.php?f=29&t=577
Ďalšie linky a poznámky
Ešte pridám nejaké linky, kde môžete vidieť, že s vedomosťami, ktoré už teraz máte, sa dajú vcelku ľahko robiť kadejaké užitočné veci.
* Tu je niečo o súvise matíc s komplexnými číslami a kvaterniónmi: viewtopic.php?t=571
* S pomocou lineárnej algebry sa dá asi o čosi ľahšie ukázať, že $F=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$ (s obvyklým sčitovaním a násobením) tvorí pole. (Toto som mohol spomenúť už skôr, lebo tam stačí vedieť niečo o lineárnej závislosti a nezávislosti.) Ak by sme chceli nielen ukázať, že to je pole, ale aj nájsť predpis pre inverzný prvok k $a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}$, tak nám môžu pomôcť determinanty a Cramerovo pravidlo: viewtopic.php?t=349
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2015/16 - 1PMA
Povinné cviko: (15.12.)
Z tejto sady p.ú. sme stihli úlohy 1,2,3,4,5,8.
Úloha 2 sa týka determinantu Vandermondovej matice.
Odvodenie tohoto determinantu môžete nájsť aj tu:
* http://math.stackexchange.com/questions ... -induction
* http://math.stackexchange.com/questions ... eterminant
* http://proofwiki.org/wiki/Vandermonde_Determinant
Táto matica sa dá použiť na zdôvodnenie faktu, že ak polynóm má viac koreňov, než je jeho stupeň, tak to musí byť nulový polynóm.
Jedna úloha bola o skalárnom súčine $\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x) \,\mathrm d x$; 7.1.5(3) (Tento skalárny súčin bude pre vás užitočný na analýze. Na niektorých analytických predmetoch sa môžete stretnúť s priestorom $L_2$. Ten má mnohé aplikácie, súvisí napríklad s Fourierovými radmi.)
Výberové cviko: (18.12.)
Robili sme príklady súvisiace s ortogonálnou bázou, ortogonálnym doplnkom a projekciou na porpeistor.
Konkrétne sme stihli z týchto úloh úlohy 2 a 3 (t.j. 7.4.6(3) a 7.5.6(2)). A ešte sme si ukázali na jednom príklade výpočet matice ortogonálnej projekcie na zadaný podpriestor. Tento príklad je aj vyriešený na fóre: viewtopic.php?f=29&t=824
Ďalšie podobné typy príkladov môžete nájsť vyriešené v LAG1 a nejaké sú ajtu:
viewtopic.php?t=574
viewtopic.php?t=575
Z tejto sady p.ú. sme stihli úlohy 1,2,3,4,5,8.
Úloha 2 sa týka determinantu Vandermondovej matice.
Odvodenie tohoto determinantu môžete nájsť aj tu:
* http://math.stackexchange.com/questions ... -induction
* http://math.stackexchange.com/questions ... eterminant
* http://proofwiki.org/wiki/Vandermonde_Determinant
Táto matica sa dá použiť na zdôvodnenie faktu, že ak polynóm má viac koreňov, než je jeho stupeň, tak to musí byť nulový polynóm.
Jedna úloha bola o skalárnom súčine $\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x) \,\mathrm d x$; 7.1.5(3) (Tento skalárny súčin bude pre vás užitočný na analýze. Na niektorých analytických predmetoch sa môžete stretnúť s priestorom $L_2$. Ten má mnohé aplikácie, súvisí napríklad s Fourierovými radmi.)
Výberové cviko: (18.12.)
Robili sme príklady súvisiace s ortogonálnou bázou, ortogonálnym doplnkom a projekciou na porpeistor.
Konkrétne sme stihli z týchto úloh úlohy 2 a 3 (t.j. 7.4.6(3) a 7.5.6(2)). A ešte sme si ukázali na jednom príklade výpočet matice ortogonálnej projekcie na zadaný podpriestor. Tento príklad je aj vyriešený na fóre: viewtopic.php?f=29&t=824
Ďalšie podobné typy príkladov môžete nájsť vyriešené v LAG1 a nejaké sú ajtu:
viewtopic.php?t=574
viewtopic.php?t=575