Skupina A
Zistite, či existuje lineárne zobrazenie $f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^4$, ktoré spĺňa zadané podmienky. Ak áno, nájdite maticu aspoň jedného takého zobrazenia. Ak nie, tak zdôvodnite, prečo také zobrazenie neexistuje.
$f(1,1,2)=(1,1,3,1)$, $f(0,1,3)=(2,1,0,1)$, $f(2,1,1)=(0,1,1,3)$.
Skupina B
Riešenie:Zistite, či existuje lineárne zobrazenie $f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^4$, ktoré spĺňa zadané podmienky. Ak áno, nájdite maticu aspoň jedného takého zobrazenia. Ak nie, tak zdôvodnite, prečo také zobrazenie neexistuje.
$f(2,1,1)=(1,1,3,1)$, $f(3,1,0)=(2,1,0,1)$, $f(1,1,2)=(0,1,1,3)$.
Skupina A:
$\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
0 &-1 &-3 &-2 &-1 &-5 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 &-5 & 2
\end{array}\right)$
Pre zobrazenie spĺňajúce zadané podmienky by muselo platiť $f(0,0,0,0)=(0,-5-2)$. Teda také lineárne zobrazenie neexistuje. (Vieme, že pre lineárne zobrazenie vždy platí $f(\vec 0)=f(\vec 0)$.)
Môžete si všimnúť, že zadanie v skupine B je v podstate rovnaké, len sme povymieňali súradnice vektorov v $\mathbb R^3$. Pre úplnosť sem ale dám aj nejaké riešenie tejto skupiny.
$\left(\begin{array}{ccc|cccc}
2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 \\
3 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 \\
3 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\
0 &-1 &-3 & 1 &-1 & 1 &-5 \\
0 &-2 &-6 & 2 &-2 &-3 &-8
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 3 &-1 & 1 &-1 & 5 \\
0 &-1 &-3 & 1 &-1 &-\frac32 &-4
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 3 &-1 & 1 &-1 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 &-\frac52 & 1
\end{array}\right)$
Ešte poznamenám, že v oboch skupinách sa dalo zbadať, že $2\vec a_1-\vec a_2-\vec a_3=\vec 0$, kde ako $\vec a_i$ som označil zadané vektory. (T.j. zadanie je tvaru $f(\vec a_1)=\vec b_1$, $f(\vec a_2)=\vec b_2$, $f(\vec a_3)=\vec b_3$.)
Z linearity potom dostaneme, že musí platiť aj $2\vec b_1-\vec b_2-\vec b_3=\vec 0$.
Spoiler:
Komentár k riešeniam
Viem z hodností povedať niečo o neexistencii riešenia?
Prepíšem sem ako vyzeralo jedno z odovzdaných riešení. A tiež napíšem komentár k tomu, čo tam nie je dobre a či by niečo podobné mohlo pomôcť k správnemu riešeniu.
Nie som si istý, čo presne bolo myslené tým, že "lineárne zobrazenie $\Leftrightarrow$ existuje inverzná matica". Ale aj odhliadnuc od toho, samotný fakt, že zadané vektory generujú podpriestor dimenzie dva nám nestačí na to, aby sme zistili, že lineárne zobrazenie vyhovujúce zadaniu neexistuje.$f(1,1,2)=(1,1,3,1)$
$f(0,1,3)=(2,1,0,1)$
$f(2,1,1)=(0,1,1,3)$.
lineárne zobrazenie $\Leftrightarrow$ existuje inverzná matica
matica je regulárna, $h(A)=n$ $\Rightarrow$ existuje inverzná matica
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 \\
0 &-1 &-3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$
$h(A)=2$
$2<3$ (počet riadkov)
$h(A)\ne n$
Neexistuje inverzná matica, takže zobrazenie $f$ za daných podmienok nie je lineárne.
Skúste si predstaviť, že by sme zmenili zadanie tak, že $f(1,1,2)=(0,0,0,0)$, $f(0,1,3)=(0,0,0,0)$, $f(2,1,1)=(0,0,0,0)$.
Očividne, zobrazenie $f(x,y,z)=(0,0,0,0)$ vyhovuje podmienkam zo zadania.
Takže by malo byť vidno, že nejakú úlohu zohrávajú aj zadané vektory z $\mathbb R^4$.
To, čo ste vyrátali uvedeným výpočtom, je to, že dimenzia podpriestoru $[(1,1,2),(0,1,3),(2,1,1)]$ je dva.
Ak by ste urobili podobný výpočet pre $[(1,1,3,1),(2,1,0,1),(0,1,1,3)]$, zistili by ste, že tento podpriestor má dimenziu tri.
Argument, že priestor dimenzie 3 nemôžem dostať ako obraz priestoru dimenzie 2 by bol správny.
Určite však nemôžete dostať záver o neexistencii takéhoto lineárneho zobrazenia bez toho, že by ste akýmkoľvek spôsobom využili zadané obrazy.
Ešte poznamenám, že tento argument by v tomto prípade síce fungoval, ale ak by zadanie boli iné nemusel by nám pomôcť. Ak by nám vyšla hodnosť rovnaká, tak z toho ešte nevieme nič povedať o tom, či také zobrazenie existuje alebo nie. A ak by bolo zadanie tak, že existuje zobrazenie vyhovujúce zadaným podmienkam, tak potrebujeme ešte aj nájsť maticu (aspoň jedného) takého zobrazenia.