Výpočet inverznej matice pomocou determinantov

[Martin Sleziak]

Dostal som takúto otázku mailom:

Dobry den, chcel by som sa opytat na determinanty, https://msleziak.com/vyuka/2014/la/det_prehlad.pdf piata uloha prvy priklad, konkretne problem so znamienkami mi trochu nesedia, a zaroven uloha 5 piaty priklad mi vysiel determinant 0 moze tak vyjst, lebo vy tam mate vysledok inverznej matici aj ked nam vysiel det=0.

Skúsim odpísať sem - takto bude vidieť riešenie viac ľudí. Ide o tieto matice $\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 \\
4 & 3 & 3 \\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}$ a $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}$.

Všeobecná rada k takýmto úlohám:
* dá sa skúsiť vypočítať inverznú iným spôsobom alebo urobiť skúšku - potom budete vedieť povedať, či to máte dobre;
* dá sa skúsiť tú istú úlohu zadať do nejakého softu, ktorý to vie rátať viewtopic.php?t=355

Ak dobre pozerám, keď skúsim prvú maticu vo WA, tak výsledok je rovnaký, ako tam mám napísané ja
https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... %2C1%5D%5D
Nie som si istý, či viem k tomu povedať oveľa viac - možno keby ste skúsili presnejšie napísať, kde konkrétne vám to nevychádza alebo napísať, ako ste to rátali.

Čo sa týka druhej matice, tak je skutočne singulárna. To sa dá ľahko skontrolovať aj tak, že si všimnete, že tretí riadok sa dá získať ako súčet druhého riadku dvojnásobku prvého riadku.
To isté hovorí aj WA: https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... %2C3%5D%5D
Možno zadanie malo byť takéto:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... %2C4%5D%5D
https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... %2C1%5D%5D

[Martin Sleziak]

Ak dobre pozerám, keď skúsim prvú maticu vo WA, tak výsledok je rovnaký, ako tam mám napísané ja
https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... %2C1%5D%5D
Nie som si istý, či viem k tomu povedať oveľa viac - možno keby ste skúsili presnejšie napísať, kde konkrétne vám to nevychádza alebo napísať, ako ste to rátali.

Tu je ako mne vyšli jednotlivé výpočty:
$|A|=\begin{vmatrix}
2 & 3 & 1 \\
4 & 3 & 3 \\
1 & 2 & 1
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
2 & 3 & 1 \\
2 & 0 & 2 \\
1 & 2 & 1
\end{vmatrix}=
2\begin{vmatrix}
2 & 3 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{vmatrix}=
2\begin{vmatrix}
0 & 3 &-1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0
\end{vmatrix}=
4\begin{vmatrix}
0 & 3 &-1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{vmatrix}=
4\begin{vmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 3 &-1
\end{vmatrix}=-4$

$A_{11}=
\begin{vmatrix}
3 & 3 \\
2 & 1
\end{vmatrix}=-3$

$A_{12}=
-\begin{vmatrix}
4 & 3 \\
1 & 1
\end{vmatrix}=-1$

$A_{13}=
\begin{vmatrix}
4 & 3 \\
1 & 2
\end{vmatrix}=5$

$A_{21}=
-\begin{vmatrix}
3 & 1 \\
2 & 1
\end{vmatrix}=-1$

$A_{22}=
\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{vmatrix}=1$

$A_{23}=
-\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
1 & 2
\end{vmatrix}=-1$

$A_{31}=
\begin{vmatrix}
3 & 1 \\
3 & 3 \\
\end{vmatrix}=6$

$A_{32}=
-\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
4 & 3 \\
\end{vmatrix}=2$

$A_{33}=
\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
4 & 3 \\
\end{vmatrix}=-6$

$A^{-1}=\frac1{|A|}
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{21} & A_{31} \\
A_{12} & A_{22} & A_{32} \\
A_{13} & A_{23} & A_{33} \\
\end{pmatrix}=
-\frac14
\begin{pmatrix}
-3 &-1 & 6 \\
-1 & 1 & 2 \\
5 &-1 &-6 \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac34 & \frac14 &-\frac32 \\
\frac14 &-\frac14 &-\frac12 \\
-\frac54 & \frac14 & \frac32 \\
\end{pmatrix}
$