Kolmý priemet

[Martin Sleziak]

Skupina A

Nájdite ortogonálnu projekciu vektora $\vec a=(3,1,-1,1)$ do podpriestoru
$S=[(1,3,2,1),(2,2,2,1),(3,1,2,-1)]$.

Výsledok: $\vec a=(3,1,-1,1)=\underset{\in S}{\underbrace{(2,0,1,1)}}+\underset{\in S^\bot}{\underbrace{(1,1,-2,0)}}$. Priemet do podpriestoru $S$ je $(2,0,1,1)$.

Skupina B

Nájdite ortogonálnu projekciu vektora $\vec a=(1,0,1,1)$ do podpriestoru\\
$S=[(1,1,0,-1),(1,2,2,1),(2,1,-2,-1)]$.

Výsledok: $\vec a=(1,0,1,1)=\underset{\in S}{\underbrace{\frac13(1,2,2,3)}}+\underset{\in S^\bot}{\underbrace{\frac13(2,-2,1,0)}}$. Priemet do podpriestoru $S$ je $\frac13(1,2,2,3)$.

Skupina C

Nájdite ortogonálnu projekciu vektora $\vec a=(3,1,1,1)$ do podpriestoru
$S=[(1,-1,2,0),(1,2,-4,-1),(2,-1,4,-1)]$.

Výsledok: $\vec a=(3,1,1,1)=\underset{\in S}{\underbrace{\frac12(5,-1,1,-1)}}+\underset{\in S^\bot}{\underbrace{\frac12(1,3,1,3)}}$. Priemet do podpriestoru $S$ je $\frac12(5,-1,1,-1)$.

Môžete sa pozrieť aj na úlohy z vlaňajšej písomky: viewtopic.php?t=604

[Martin Sleziak]

Riešenie

Pôvodne som sem nechcel dávať riešenie, keďže viacero podobných úloh je vyriešených na fóre:
viewtopic.php?t=824
viewtopic.php?t=574
viewtopic.php?t=575

Nakoniec som sa rozhodol niečo napísať z dvoch dôvodov:
* nikto neriešil úlohu pomocou výpočtu priemetu do $S^\bot$, čo sa mne zdá pravdepodobne najrýchlejší spôsob;
* viacerí ste robili veľmi podobné chyby.

Nech už budeme rátať priemet akýmkoľvek spôsobom, oplatí sa nám mať čo najjednoduchšiu bázu priestoru $S$.
$\begin{pmatrix} 1 &-1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 &-4 &-1 \\ 2 &-1 & 4 &-1 \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 &-1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 &-6 &-1 \\ 0 & 1 & 0 &-1 \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 &-1 \\ 0 & 0 &-6 &-2 \\ 0 & 1 & 0 &-1 \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 &-1 \\ 0 & 1 & 0 &-1 \\ 0 & 0 & 3 &-1 \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &-1 \\ 0 & 0 & 3 &-1 \end{pmatrix}$

Vidíme, že $S=[(1,0,-1,0),(0,1,0,-1),(0,0,3,-1)]$.

Takisto odtiaľto vieme zistiť bázu $S^\bot$; stačí nám nájsť riešenie homogénnej sústavy s touto maticou.
$S^\bot=[(1,3,1,3)]$.

Priemet do $S^\bot$
Pretože $S^\bot$ je jednorozmerný, kolmý priemet do tohoto podpriestoru vieme vypočítať veľmi ľahko: viewtopic.php?t=851

Zoberme si jednotkový vektor generujúci $S$, t.j. vektor $(1,3,1,3)$ vydelíme jeho veľkosťou: $\vec u=\frac1{\sqrt{20}}(1,3,1,3)$

Skalárny súčin $\vec a$ s týmto vektorom je $\langle \vec a, \vec u \rangle = \frac1{\sqrt20} \langle (3,1,1,1),(1,3,1,3) \rangle = \frac{10}{\sqrt{20}}$.
Priemet do $S^\bot$ dostaneme tak, že týmto číslom vynásobíme $\vec u$.
Priemet do $S^\bot$ je $\vec a_2=\frac12(1,3,1,3)$.
Aby sme dostali priemet do $S$, jednoducho od $\vec a$ odpočítame priemet do ortogonálneho doplnku $S^\bot$.
Priemet do $S$ je $\vec a_1=\vec a-\vec a_2=(3,1,1,1)-\frac12(1,3,1,3)=\underline{\underline{\frac12(5,-1,1,-1)}}$.

Výpočet pomocou sústavy
Väčšina z vás zvolila takýto postup: Ak máme bázu $\vec b_1=(1,0,-1,0)$, $\vec b_2=(0,1,0,-1)$, $\vec b_3=(0,0,3,-1)$ priestoru $S$ a bázu $\vec b_4=(1,3,1,3)$ priestoru $S^\bot$, tak tieto štyri vektory spolu tvoria bázu celého priestoru $\mathbb R^4=S\oplus S^\bot$.
Teda ľubovoľný vektor $\vec a$ sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare
$$\vec a= x_1\vec b_1+x_2\vec b_2+x_3\vec b_3+x_4 \vec b_4.$$
Táto rovnosť nám dá sústavu štyroch rovníc o štyroch neznámych, z ktorej vieme vypočítať koeficienty $x_1,\dots,x_4$.
Ak ich skutočne nájdeme, tak $\vec a_1=x_1\vec b_1+x_2\vec b_2+x_3\vec b_3$ je kolmý priemet do $S$ a $\vec a_2=x_4\vec b_4$ je kolmý priemet do $S^\bot$.
(Oplatí sa nám namiesto pôvodnej bázy $S$ použiť už upravenú - podľa hesla: "Viac núl = jednoduchšia sústava.")

Skúsme sa teda pozrieť na to, ako vyrátame tieto koeficienty.
Chceme aby spĺňali podmienku
$$(3,1,1,1)=x_1(1,0,-1,0)+x_2(0,1,0,-1)+x_3(0,0,3,-1)+x_4(1,3,1,3)\tag{1}$$
Ak sa pozrieme na jednotlivé súradnice dostaneme sústavu rovníc
$$\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 3 & 1 & 1 \\ 0 &-1 &-1 & 3 & 1 \end{array}\right)$$
Všimnite si, že v tejto sústave sú bázové vektory $\vec b_1,\dots,\vec b_4$ v stĺpcoch.
Viacerí ste ich poukladali do riadkov a potom riešili nesprávnu sústavu. Napríklad v tejto skupine by ste takto dostali
$$\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 &-1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 &-1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 &-1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right)$$
Dúfam, že je aspoň trochu jasné, keď porovnáte tieto sústavy s rovnosťou $(1)$, ktorú sme chceli prepísať do sústavy, tak tejto rovnosti zodpovedá prvá uvedená sústava a nie druhá.

Poďme ju teda vyriešiť:
$\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 3 & 1 & 1 \\ 0 &-1 &-1 & 3 & 1 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 4 \\ 0 &-1 &-1 & 3 & 1 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 &-1 & 6 & 2 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 &20 &10 \\ 0 & 0 &-1 & 6 & 2 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 &-6 &-2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &\frac12 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & \frac52 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &-\frac12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &\frac12 \end{array}\right)$

Priemet do $S$ potom dostaneme ako
$\vec a_1=\frac52(1,0,-1,0)-\frac12(0,1,0,-1)+(0,0,3,-1)=\underline{\underline{(\frac52,-\frac12,\frac12,-\frac12)}}$.
Priemet do $S^\bot$ je $\vec a_2=\frac12(1,3,1,3)$.