Prednášky LS 2015/16

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška (16.2):
Grupy. Vlastne sme len stručne zopakovali veci z minulého semestra.
Podgrupy. Definícia a príklady. Kritérium podgrupy. Podgrupa generovaná danou množinou, príklady.

[Martin Sleziak]

2. prednáška (23.2.)
Homomorfizmy grúp. Definícia. Pre homomorfizmus platí $f(e_G)=e_H$ a $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$, t.j. homomorfizmus zachováva neutrálny prvok a aj inverzné prvky. Príklady homomorfizmov.
izomorfizmus. Zloženie homomorfizmov/izomorfizmov, ak $f$ je izomorfizmus, tak aj $f^{-1}$ je izomorfizmus.
Obraz/vzor podgrupy. Jadro a obraz.
Cyklické grupy. Definícia $x^n$, základné vlastnosti. (Lemu 2.4.2 som nedokazoval - dôkazy by boli vlastne iba precvičením dôkazu matematickou indukciou). Rád prvku: Definícia, príklady. Izomorfizmus zachováva rád prvku.

EDIT: Túto linku som vám už párkrát v nejakých postoch spomenul. Ale keďže znovu prišla reč na pojem izomorfizmu, pridám ju ešte raz: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=495

[Martin Sleziak]

3. prednáška (1.3.):
Cyklické grupy.
Konečná neprázdna podmnožina je podgrupou, ak je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu.
Cyklická grupa sa dá zapísať ako $G=[a]=\{a^n; n\in\mathbb Z\}$.
Kedy platí $a^k=a^l$. Každá cyklická grupa je izomorfná s $(\mathbb Z,+)$ alebo $(\mathbb Z_n,\oplus)$.
Homomorfný obraz/podgupa cyklickej grupy je cyklická. (Pri týchto dvoch výsledkoch som preskočil dôkaz.)
Grupa $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ je cyklická $\Leftrightarrow$ čísla $m$ a $n$ sú nesúdeliteľné. (Tu som stihol dôkaz iba jednej implikácie, k dôkazu opačnej implikácie sa znovu vrátim na budúcej prednáške.)

[Martin Sleziak]

4. prednáška (8.3.):
Cyklické grupy. Dokončil som dôkaz z vety z minula (o tom, kedy je $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ cyklická grupa.)
Permutácie. Definícia cyklu. Rozklad na súčin disjunktných cyklov - existencia a jednoznačnosť. Rád permutácie. Parita permutácie.

[Martin Sleziak]

5. prednáška (15.3.):
Ekvivalencie a rozklady. Zopakovali sme definície a tiež to, aký je vzťah medzi reláciami ekvivalencie a rozkladmi. (Toto by ste už mali poznať z iných predmetov.)
Rozklad grupy podľa podgrupy. Súčin podmnožín grupy a niektoré jeho základné vlastnosti. (Z lemy 3.2.2 sme na dnešnej prednáške spomenuli len vlastnosti (i) až (iv).) Zadefinovali sme rozklad ľavé triedy rozkladu. Dokázali sme, že $aH=bH$ $\Leftrightarrow$ $ab^{-1}\in H$. Ďalej sme dokázali, že ľavé triedy rozkladu $G$ podľa $H$ tvoria skutočne rozklad. (To isté platí pre pravé triedy.) Ako príklady rozkladov sme si ukázali rozklad $(\mathbb Z,+)$ podľa $3\mathbb Z=\{3z; z\in\mathbb Z\}$ a rozklad $(\mathbb R^2,+)$ podľa $\{(x,x); x\in\mathbb R\}$.
Lagrangeova veta. Veľkosť a počet tried rozkladu. Dôsledky Lagrangeovej vety. (Nerobil som na prednáške vetu o tom, ako vyzerajú štvorprvkové grupy - urobíme ju na cviku.)
Normálne podgrupy. Zatiaľ som stihol iba dokázať ekvivalenciu podmienok (i) až (vi) z vety 3.3.2. (Zostáva tam ešte podmienka (vii).)

[Martin Sleziak]

6. prednáška (22.3.):
Normálne podgrupy. Dokončili sme vetu z minula - ekvivalentné podmienky. Definícia normálnej podgrupy. Príklady.
Faktorová grupa. Definícia faktorovej grupy a dôkaz, že skutočne ide o grupu. Príklady faktorových grúp. Veta o izomorfizme. (Druhú a tretiu vetu o izomorfizme som neprednášal, nebude ani na skúške.)

[Martin Sleziak]

29.3. prednáška odpadla (dekanské voľno).

7. prednáška (5.4.):
Okruhy. Základné definície a niekoľko príkladov. Podokruh. Okruh bez deliteľov nuly, obor integrity, teleso, pole.
Homomorfizmy. Definícia homomorfizmu a izomorfizmu okruhov. Niekoľko príkladov.
Ideály. Definícia ideálu. Jadro homomorfizmu je ideál.

Pri homomorfizmoch sme sa trochu rozprávali aj o tom, že komplexné čísla sa dajú interpretovať ako matice: viewtopic.php?t=571

[Martin Sleziak]

8. prednáška (12.4.):
Faktorové okruhy. Ukázali sme ešte nejaké jednoduché veci o ideáloch a zopár príkladov. Definícia faktorového okruhu, veta o izomorfizme, kanonický homomorfizmus. Pre komutatívne okruhy s jednotkou platí: $R/I$ je obor integrity $\Leftrightarrow$ $I$ je vlastný prvoideál. $R/I$ je obor pole $\Leftrightarrow$ $I$ je maximálny ideál.

[Martin Sleziak]

9. prednáška (19.4.):
Okruhy polynómov. Ešte sme sa zaoberali definíciou okruhu polynómov, t.j. zadefinovali sme ako sa polynómy sčitujú a násobia. Dôležité veci, ktoré sme si tam povedali sú vlastne tieto:

• Polynómy skutočne tvoria okruh.
• Do polynómov sa dá dosadzovať. (Máme dosadzovací homomorfizmus.)
• Polynómy a polynomické funkcie nie sú to isté. (Pre nekonečné polia by sme dostali izomorfné okruhy - ako si môžete prečítať v poznámkach k prednáške - na prednáške som to však nedokazoval. (Nebudem to ani skúšať.)

Veta o delení so zvyškom. Pre okruh polynómov $F[x]$ nad poľom sme vetu o delení so zvyškom dokázali. Pre okruh $\mathbb Z$ sme ju iba vyslovili.
Deliteľnosť v okruhoch. Definícia a základné vlastnosti deliteľnosti, asociované prvky, delitele jednotky. Dva prvky sú asociované práve vtedy, keď sa líšia iba vynásobením deliteľom jednotky.