Pevné body afinného zobrazenia

[Martin Sleziak]

Napíšem sem niečo k úlohe z písomky. Samozrejme, ak máte nejaké otázky, poznámky, návrhy na iné riešenia, tak neváhajte napísať sem na fórum.

Vo všetkých 4 skupinách bolo rovnaké zadanie, líšilo sa iba voľbou zobrazenia $f$.

Pre zadané afinné zobrazenie $(f,\varphi)\colon (\mathbb R^4,\mathbb R^4)\to(\mathbb R^4,\mathbb R^4)$ nájdite množinu bodov $B=\{x\in\mathbb R^4; f(x)=x\}$, ktoré toto afinné zobrazenie nemení. Tvoria tieto body afinný podpriestor $\mathbb R^4$? Ak áno, tak nájdite jeho parametrické a všeobecné vyjadrenie a zistite, akú má dimenziu.
A: $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1+2x_1+x_2+x_3+2x_4,3+x_1+3x_2+x_3+x_4,1+x_1+3x_3+2x_4,x_2-x_3+x_4)$
B: $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(3+2x_1+x_2+x_3+2x_4,1+x_1+2x_2-x_3+x_4,1+x_2+x_3+x_4,2+2x_1+2x_4)$
C: $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1+2x_1+x_2+x_3+2x_4,1+x_1+2x_2-x_3+x_4,1+x_2+x_3+x_4,1+3x_1+x_2-x_3+3x_4)$
D: $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1+3x_1+x_2+x_3+x_4,1+x_1+2x_2-x_3+2x_4,1+2x_2+x_3+3x_4,1+3x_1+x_4)$

(Omylom som dal v písomke v skupinách C a D to isté zadanie; toto čo som napísal sem som mal pripravené pôvodne.)

Výsledky

V podstate sa stačí pozrieť na to, že uvedená podmienka dá nejakú sústavu lineárnych rovníc s neznámymi $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ a túto sústavu vyriešiť.
Vo všetkých skupinách bolo zadanie urobené tak, že množina riešení tejto sústavy je priamka v $\mathbb R^4$.
A: Priamka $(3,-2,-2,0)+[(-4,1,1,1)] = (-1,-1,-1,1)+[(-4,1,1,1)]$.
B: Priamka $(-1,-1,-1,0)+[(1,2,1,-2)]$
C: Priamka $(0,-1,0,0)+[(1,2,1,-2)]$
D: Priamka $(-\frac13,0,0,-\frac13)+[(0,-3,1,2)]$
To, čo som uviedol, nám dáva parametrické vyjadrenie. Všeobecné vyjadrenie je vlastne sústava rovníc, ktorú sme riešili. (Alebo ešte lepšie - sústava, ktorá nám vyšla po úprave. Pre ňu totiž vieme, že tam nemáme rovnice "navyše", ktoré sú lineárne kombinácie ostatných.)

[Martin Sleziak]

Riešenie

Skúsme detailnejšie napísať riešenie aspoň pre jednu skupinu. Môžeme skúsiť napríklad skupinu B.

Hľadáme body také, pre ktoré platí:
\begin{align*}
3+2x_1+x_2+x_3+2x_4&=x_1\\
1+x_1+2x_2-x_3+x_4&=x_2\\
1+x_2+x_3+x_4&=x_3\\
2+2x_1+2x_4&=x_4
\end{align*}
Po úprave dostaneme:
\begin{align*}
x_1+x_2+x_3+2x_4&=-3\\
x_1+x_2-x_3+x_4&=-1\\
x_2+x_4&=-1\\
2x_1+x_4&=-2
\end{align*}

Už teraz vieme povedať, že množina riešení tvorí afinný podpriestor. (Vieme, že množina riešení hocijakého lineárneho systému je afinný podpriestor.)

Riešením sústavy dostaneme:
$
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 2 &-3 \\
1 & 1 &-1 & 1 &-1 \\
0 & 1 & 0 & 1 &-1 \\
2 & 0 & 0 & 1 &-2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 1 &-2 \\
1 & 0 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 &-1 \\
2 & 0 & 0 & 1 &-2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 &-2 \\
0 & 1 & 0 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 2 & 1 &-2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & \frac12 &-1 \\
0 & 1 & 0 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 1 & \frac12 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$

Z toho vidíme, že riešenia tejto sústavy sú presne
\begin{align*}
x_1&=-1-\frac12t\\
x_2&=-1-t\\
x_3&=-1-\frac12t
\end{align*}
Toto je parametrické vyjadrenie hľadanej množiny. Súčasne vidíme, že dimenzia je $1$ a ide o priamku.

Ako všeobecné vyjadrenie môžeme zobrať pôvodnú sústavu rovníc, ktorú sme riešili. Alebo aj poslednú sústavu rovníc, ktorá nám vyšla:
\begin{align*}
x_1+\frac12x_4&=-1\\
x_2+x_4&=-1\\
x_3+\frac12x_4&=-1
\end{align*}
(Takáto odpoveď je o čosi lepšia v tom, že ak sme tam dali všetky štyri pôvodné rovnice, tak sme tam mali jednu rovnicu "navyše" - vyplýva z troch ostatných.)

[Martin Sleziak]

Bodovanie

Myslím si, že táto úloha bola v tejto písomke najľahšia. Akonáhle rozumiete zadaniu, tak stačilo vyriešiť sústavu rovníc a zapísať množinu riešení tejto sústavy. (To sú veci, ktoré sme sa naučili rátať počas minulého semestra.) Napriek tomu nedopadla veľmi dobre.

Veľa z vás namiesto úlohy $f(x)=x$ rátalo úlohu $f(x)=0$. Ak ste dostali správny výsledok, tak som dal aj za takéto riešenie 2 body, ak nesprávny, tak 1 bod. (Aj keď prísne vzaté by som asi mal dávať za takéto niečo 0 bodov, keďže ste vlastne rátali niečo iné než to, čo bolo zadané. Čo znamená, že ste si buď zle prečítali zadanie, alebo ste ho nesprávne pochopili.)

Chyby, ktoré sa vyskytovali v riešeniach.

Niektorí z vás namiesto úlohy nájsť také body, pre ktoré $f(x)=x$ riešili úlohu nájsť body, pre ktoré $f(x)=0$. (V tomto prípade vyšiel jediný bod, takže parametrické a všeobecné vyjadrenie je potom veľmi jednoduché.)

Viacerí ste napísali, že dostanete afinný podpriestor dimenzie $4$. Ak by to bola pravda, tak by to bolo celé $\mathbb R^4$. Veľmi ľahko sa dá skontrolovať, že to tak nie je; skúste si napríklad overiť, že $f(1,0,0,0)\ne(1,0,0,0)$.

Našli sa riešenie kde ste ako všeobecné vyjadrenie napísali niečo, čo malo 1 rovnicu (hoci parametrické vyjadrenie bolo správne).
Ak mám $\mathbb R^n$ vyjadrený pomocou $k$ lineárne nezávislých rovníc, tak jeho dimenzia je $(n-k)$. Teda ak by naozaj stačila 1 rovnica, bol by to 3-rozmerný podpriestor. (Takto to nevyjde v žiadnej zo skupín.)