Podobnosť diagonalizovateľných matíc

[Martin Sleziak]

Úlohy v oboch skupinách boli v podstate rovnaké, matice sa líšili iba znamienkom (čo neovplyvní podobnosť). Sem dám teda iba zadanie jednej skupiny.

Zistite, či matice $A$ a $B$ sú podobné:
$$A=
\begin{pmatrix}
0 & 1 &-1 \\
-3 &-4 &13 \\
-1 &-1 & 4 \\
\end{pmatrix}\qquad
B=
\begin{pmatrix}
0 & 1 &-1 \\
3 & 2 &-5 \\
1 & 1 &-2 \\
\end{pmatrix}
$$

Na príklady podobného typu zo starších písomiek sa môžete pozrieť tu: viewtopic.php?t=644

[Martin Sleziak]

Riešenie

Môžeme začať tým, že vypočítame charakteristické polynómy.
Dal som sem viacero pre $\chi_A$ aj $\chi_B$ dva rôzne postupy. (Raz pomocou Sarrusovho pravidla, raz som sa snažil robiť riadkové či stĺpcové úpravy, aby som si tak zjednodušil maticu, ktorej determinant počítam.)

Spoiler:

$\chi_A(x)=
\begin{vmatrix}
x &-1 & 1 \\
3 &x+4&-13\\
1 & 1 &x-4\\
\end{vmatrix}=$ $
x(x+4)(x-4)+13+3-(x+4)+13x+3(x-4)=$ $
x(x^2-16)+16-x-4-13x+3x-12=$ $
x^3+(-16-1+13+3)x+16-4-12=$ $
x^3-x=x(x^2-1)=x(x+1)(x-1)$
$\chi_A(x)=
\begin{vmatrix}
x &-1 & 1 \\
3 &x+4&-13\\
1 & 1 &x-4\\
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
x+1&-1 & 1 \\
-x-1&x+4&-13\\
0 & 1 &x-4\\
\end{vmatrix}=$ $
(x+1)\begin{vmatrix}
1 &-1 & 1 \\
-1 &x+4&-13\\
0 & 1 &x-4\\
\end{vmatrix}=$ $
(x+1)\begin{vmatrix}
1 &-1 & 1 \\
0 &x+3&-12\\
0 & 1 &x-4\\
\end{vmatrix}=$ $
(x+1)\begin{vmatrix}
x+3&-12\\
1 &x-4\\
\end{vmatrix}=$ $
(x+1)(x^2-x-12+12)=$ $
(x+1)(x^2-x)=(x+1)x(x-1)$

$\chi_B(x)=
\begin{vmatrix}
x &-1 & 1 \\
-3 &x-2 & 5 \\
-1 &-1 &x+2\\
\end{vmatrix}=$ $
x(x-2)(x+2)+5+3+(x-2)+5x-3(x+2)=$ $
x(x^2-4)+8+x-2+5x-3x-6=$ $
x^3+(-4+1+5-3)x+8-2-6=$ $
x^3-x=x(x-1)(x+1)$
$\chi_B(x)=
\begin{vmatrix}
x &-1 & 1 \\
-3 &x-2 & 5 \\
-1 &-1 &x+2\\
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
x+1& 0 &-x-1\\
-3 &x-2& 5 \\
-1 &-1 &x+2\\
\end{vmatrix}=$ $
(x+1)\begin{vmatrix}
1 & 0 &-1\\
-3 &x-2& 5 \\
-1 &-1 &x+2\\
\end{vmatrix}=$ $
(x+1)\begin{vmatrix}
1 & 0 &-1\\
0 &x-2& 2 \\
0 &-1 &x+1\\
\end{vmatrix}=$ $
(x+1)\begin{vmatrix}
x-2& 2 \\
-1 &x+1\\
\end{vmatrix}=$ $
(x+1)(x^2-x-2+2)=(x+1)(x^2-x)=$ $
(x+1)x(x-1)$

Akonáhle sme zistili, že $\chi_A(x)=\chi_B(x)=x(x-1)(x+1)$, tak už vieme povedať, že obe matice sú podobné s diagonálnou maticou $D=\operatorname{diag}(1,0,-1)$. (Podľa dôsledku za vetou 13.11 vieme, že ak matica typu $n\times n$ má $n$ rôznych vlastných hodnôt $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$, tak je podobná s diagonálnou maticou $\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)$.)

Keďže $A$ a $B$ sú podobné s tou istou maticou, tak sú podobné aj navzájom. (Podobnosť matíc je relácie ekvivalencie.)

[Martin Sleziak]

Chyby, ktoré sa vyskytli v odovzdaných riešeniach

V princípe to nie je chyba, ale veľa z vás hľadalo aj vlastné vektory matíc $A$, $B$. To nebolo treba. (Stačí mi vedieť, že matica $3\times 3$ má tri rôzne vlastné čísla. Ak by niektorá z vlastných hodnôt bola viacnásobná, tak v tom prípade by mi informácia o vlastných číslach nestačila.)
Na druhej strane, ak naozaj pre dané vlastné číslo nájdete vlastný vektor, tak máte spravenú akúsi skúšku správnosti - viete, že je to naozaj vlastné číslo. Čiže ak ste stihli vyrátať aj vlastné vektory, tak je to výhoda pre vás. (Ako kontrola výpočtu vlastných čáísel.)

Aj v tejto úlohe sa vyskytli v niektorých odovzdaných písomkách tvrdenia, že ak dve matice majú rovnaký charakteristický polynóm, stopu a determinant, tak už sú podobné. Toto nie je pravda - toto sú iba nutné podmienky na podobnosť, nie však postačujúce. (Mali sme viacero kontrapríkladov, dokonca bolo nájdenie takého kontrapríkladu aj jedna z prednáškových úloh.)

Vieme, že ak sa dá zostaviť báza pozostávajúca z vlastných vektorov, tak matica je podobná s diagonálnou maticou. Niektorí ste však našli iba vlastné vektory k jednej vlastnej hodnote a potom ste prehlásili, že keď tieto vektory negenerujú celý priestor, tak matice nebude podobná s diagonálnou maticou.

Niektorí z vás správne našli charakteristický polynóm $\chi_A(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)$. Ale napísali ste, že vlastné čísla sú iba $\pm1$. (Aj nula môže byť vlastným číslom. Pri definícii vlastných čísel a vlastných vektorov je podmienka, že vlastný vektor nesmie byť nulový.)

[Martin Sleziak]

V oboch prípadoch sme zistili, že zadaná matica je podobná s diagonálnou maticou $D=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 &-1 \\
\end{pmatrix}
$

Čo by bolo treba spraviť, ak by sme navyše chceli nájsť aj regulárnu maticu $P$ takú, že $PAP^{-1}=D$?

Najprv by sme našli vlastné vektory k jednotlivým vlastným číslam. Ak to naozaj urobíte, tak zistíte, že
Vlastné vektory k $1$: $[(1,1,-4)]$
Vlastné vektory k $0$: $[(1,1,-3)]$}
Vlastné vektory k $-1$: $[(1,2,-5)]$

Maticu $P$ môžem dostať tak, že ako jej riadky použijem tieto vektory. (Treba ich poukladať v rovnakom poradí v akom som do diagonálnej matice $D$ dal vlastné čísla.)

Teda vyhovuje napríklad matica
$P=
\begin{pmatrix}
1 & 1 &-4 \\
1 & 1 &-3 \\
1 & 2 &-5 \\
\end{pmatrix}
$

Že naozaj platí $PAP^{-1}=D$ sa môžete presvedčiť tak, že vypočítate maticu $P^{-1}$ a výsledná matice vynásobíte.
Tu si môžete skontrolovať výsledok vo WA.