Hlavná a vedľajšia poloos

[Martin Sleziak]

Dostal som takúto otázku mailom - asi lepšie je odpovedať tu na fóre, možno je to užitočné aj pre ostatných.

Dobrý den, mám otázku ze podľa čoho určím v kužeľosečke, konkrétne v elipse, hlavnú a vedľajšiu os keď už mám nájdené vlastne hodnoty aj vektory, jedna sa o príklad. 2/g v sade príkladov 09krivky.pdf.

Ak som sa dostal k tomu, že mám elipsu v tvare
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$$
tak viem, že obsahuje body $(a,0)$ a $(0,b)$.
T.j. viem, že mám kresliť poloos dĺžky $a$ v smere osi $x$ a poloos dĺžky $b$ v smere osi $y$.
(Teda to, ktoré z čísel $a$ a $b$ je väčšie mi hovorí, ktorá poloos je hlavná.)

Ak mám hyperbolu v takomto tvare
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,$$
tak mi pomôže znamienko. Vidím, že hyperbola obsahuje body $(\pm a,0)$. Jej os (hlavná os) je v smere osi $x$.

Konkrétny príklad

Pýtali ste sa na tento príklad.

$$5x_1^2+12x_1x_2+10x_2^2-6x_1+4x_2-1=0$$

Napíšem len aké mi vyšli hodnoty. (Ak bude treba, môžem doplniť výpočty.)

Dostal som: $\delta=14$, $\Delta=-14\delta$.
Stred: $x_1=3$, $x_2=-2$.

To znamená, že ak súradnicovú sústavu posuniem do stredu elipsy, tak budem mať rovnicu
$$5y_1^2+12y_1y_2+10y_2^2-14=0.$$

Vlastné číslo $1$ a vlastný vektor $(3,-2)$ (jednotkový $\frac1{\sqrt{13}}(3,-2)$.)
Vlastné číslo $14$ a vlastný vektor $(2,3)$ (jednotkový $\frac1{\sqrt{13}}(2,3)$.)

V otočenej súradnicovej sústave mám teda nakresliť takúto elispu:
$$\begin{align*} z_1^2+14z_2^2-14&=0\\ z_1^2+14z_2^2&=14\\ \frac{z_1^2}{14}+z_2^2&=1 \end{align*}$$

Pritom os $z_1$ je v smere vektora $(3,-2)$. A os $z_2$ je v smere vektora $(2,3)$.
To znamená, že ak si nakreslím osi v smere týchto vektorov, tak v smere vektora $(3,-2)$ by som mal nakresliť poloos dĺžky $\sqrt{14}$. V smere vektora $(2,3)$ by som mal nakresliť pollos dĺžky $1$.
Tu je obrázok, aký vráti WolframAlpha. Zodpovedá to stredu a smerom resp. dĺžkam poloosí aké som napísal vyššie.