Relácie ekvivalencie

[Martin Sleziak]

Zadania

Skupina B

Overte, či $R$ je relácia ekvivalencie na množine $M$:\\
$M=\mathbb Q$ a $R=\{(x,y)\in M\times M; x-y\in\mathbb Z\}$

Skupina A

Overte, či $R$ je relácia ekvivalencie na množine $M$:\\
$M=\mathbb R^*$ a $R=\{(x,y)\in M\times M; \frac xy \in\mathbb Q\}$

Ak ste zvedaví na písomky z minulých rokov, tak sa môžete pozrieť sem:
viewtopic.php?t=504
viewtopic.php?t=753

Riešenia

Máme zistiť, či ide o reláciu ekvivalencie.

V oboch prípadoch ide o špeciálny prípad relácie ekvivalencie použitej v definícii faktorovej grupy. T.j. $(x,y)\in G\times G$ sú v relácii práve vtedy, keď $xy^{-1}\in H$, pričom v skupine A je grupa $G=(\mathbb Q,+)$ a podgrupa $H=\mathbb Z$, zatiaľčo v skupine B je $G=(\mathbb R^*,\cdot)$ a $H=\mathbb Q^*$. (Tu si ešte treba uvedomiť, že ak delíme nenulové čísla, tak nemôžeme dostať nulu. Teda je skutočne jedno, či napíšeme $\mathbb Q$ ako je v zadaní, alebo $\mathbb Q^*$; ak chceme podgrupu $\mathbb R^*$, tak samozrejme nemôžeme zobrať celé $\mathbb Q$.)

Čiže ak by ste skontrolovali, že $H$ je skutočne podgrupa $G$ a odvolali sa na to, že na prednáške sme dokázali, že toto je pre každú komutatívnu grupu a ľubovoľnú jej podgrupu relácia ekvivalencie, tak by to bolo úplne správne riešenie.

Nie je však ťažké overiť to priamo. (A ak chcete, tak môžete tento konkrétny príklad porovnať s tým, čo ste robili v dôkaze vety 1.6.6 v LAG1.)

Skupina B:

Podľa definície $R$ máme pre $x,y\in M$
$$(x,y)\in R \qquad\Leftrightarrow\qquad x-y\in\mathbb Z.$$

Reflexívnosť:
$(x,x)\in R$ $\Leftrightarrow$ $x-x=0\in\mathbb Z$

Symetria:
$(x,y)\in R$ $\Rightarrow$ $x-y\in\mathbb Z$ $\Rightarrow$ $y-x=-(x-y)\in\mathbb Z$ $\Rightarrow$ $(y,x)\in R$

Tranzitívnosť:
$(x,y)\in R \land (y,z)\in R$ $\Rightarrow$ $(x-y)\in\mathbb Z \land (y-z)\in\mathbb Z$ $\Rightarrow$ $x-z=(x-y)+(y-z)\in\mathbb Z$ $\Rightarrow$ $(x,z)\in\mathbb Z$

Skupina A:
Podľa definície $R$ máme pre $x,y\in M$
$$(x,y)\in R \qquad\Leftrightarrow\qquad \frac xy\in\mathbb Q.$$

Reflexívnosť:
$(x,x)\in R$ $\Leftrightarrow$ $\frac xx = 1\in\mathbb Q$

Symetria:
$(x,y)\in R$ $\Rightarrow$ $\frac xy \in\mathbb Q$ $\Rightarrow$ $\frac yx=\frac1{x/y}\in\mathbb Q$ $\Rightarrow$ $\frac yx\in\mathbb Q$

Tranzitívnosť:
$(x,y)\in R \land (y,z)\in R$ $\Rightarrow$ $\frac xy \in\mathbb Q \land \frac yz \in\mathbb Q$ $\Rightarrow$ $\frac xz=\frac xy \cdot \frac yz \in\mathbb Q$ $\Rightarrow$ $\frac xz \in\mathbb Q$

[Martin Sleziak]

Často sa vyskytujúce chyby

Opäť ste veľakrát naznačili v riešení opačný smer, než potrebujete dokázať.

Napríklad pri dôkaze symetrie som našiel napísané niečo takéto:

$(x,x)\in R$ $\Rightarrow$ $x-x=0\in\mathbb Z$

Toto je síce pravda, ale uvedená implikácia je presne obrátená voči tej, ktorú potrebujem. Ja chcem dokázať, že $(x,x)\in R$. Uvedený zápis hovorí, že niečo vyplýva z $(x,x)\in R$. Potrebujem presne opačnú vec: Začať s niečím, čo určite platí, a odvodiť z toho $(x,x)\in R$.
Ktorýkoľvek z týchto zápisov by bol v poriadku
$(x,x)\in R$ $\Leftrightarrow$ $x-x=0\in\mathbb Z$.
$(x,x)\in R$ $\Leftarrow$ $x-x=0\in\mathbb Z$.
$x-x=0\in\mathbb Z$ $\Rightarrow$ $(x,x)\in R$.

Vo viacerých písomkách sa vyskytli zápisy ako $\frac xy\in\mathbb Q$ $\Leftrightarrow$ $x\in\mathbb Z$ $\land$ $y\in\mathbb N$. Toto určite nie je pravda.

Vyskytlo sa niečo také, že ste chceli ukázať:
$\frac xy \in\mathbb Q \land \frac yz \in\mathbb Q$ $\Rightarrow$ $\frac xz\in\mathbb Q$
Potom ste napísali, že vynásobíte obe strany $yz$ a budete uvažovať o

$xz \in\mathbb Q \land y^2 \in\mathbb Q$ $\Rightarrow$ $yz\in\mathbb Q$

Uvedené dve implikácie určite nie sú ekvivalentné. (Druhá z nich neplatí. Skúste napríklad $x=z=1$ a $y=\sqrt2$.)
Vynásobiť obe strany nejakej rovnosti nenulovým číslom je ekvivalentná úprava. (Podobne pri nerovnostiach, ak násobím kladným číslom.)
Nevieme však robiť niečo také, že v implikácii všetko vynásobíme tým istým číslom. (Už len z toho dôvodu, že v implikácii sú výroky, nie čísla. Aj keď v tomto konkrétnom prípade to boli výroky, ktoré hovorili o nejakých číslach.)

V zopár písomkách sa našlo niečo, čo vyzeralo tak, že ste tam zrejme chceli nejako zdôvodniť vlastnosti celých čísel. (Mám na mysli implikácie $x\in\mathbb Z \Rightarrow -x\in\mathbb Z$ a $x,y\in\mathbb Z\Rightarrow x+y\mathbb Z$, ktoré sa vlastne využili v dôkaze symetrie a tranzitívnosti.)
Dohodnime sa, že základné vlastnosti sčitovania a násobenia v $\mathbb Z$ (aj $\mathbb R$) považujeme za známe, netreba ich odvodzovať. (Navyše ak by ste ich chceli nejako zdôvodniť, bolo by treba zadefinovať celé čísla, čo sme nerobili.) Ak hovoríme o $\mathbb Q$ či $\mathbb C$, tak tieto veci definovať vieme. (Racionálne čísla pomocou celých, komplexné čísla pomocou reálnych.) Čiže tu by sa dalo zmysluplne dokazovať nejaké vlastnosti operácií s nimi.
Budem sa snažiť zadania vždy písať tak, aby bolo to tam bolo jasne zdôraznené, ak treba aj takéto veci dokazovať. (Tu som takéto veci od vás nechcel, úplne som bol spokojný so zdôvodnením, že súčin racionálnych čísel je racionálne - bez toho, aby ste uviedli dôkaz tohoto faktu.)