Doplnenie na bázu

[Martin Sleziak]

Je to presne príklad takého typu, aký bol na jednej z písomiek na výberovom cviku: viewtopic.php?t=977

V oboch skupinách bolo zadania také, že sa to dalo doplniť na bázu vektorom $(0,0,1,0)$. (Samozrejme, to nie je jediná možnosť ako sa to dá doplniť na bázu. Ale je to tá možnosť, ktorú vidno ak maticu upravíte na RTM.)

Sem už skopírujem iba zadania a úprava na redukovaný tvar - z neho sa už dá vyčítať, že zadané vektory sú nezávislé a aj aký môžeme zvoliť chýbajúci vektor.

Skupina A

Doplňte zadané vektory $\vec x_1$, $\vec x_2$, $\vec x_3$ na bázu priestoru $\mathbb R^4$ alebo zdôvodnite, že sa to nedá.
$$\vec x_1=(2,1,1,1), \vec x_2=(1,3,-2,2), \vec x_3=(2,0,2,1).$$

Spoiler:

$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 3 &-2 & 2 \\
2 & 0 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 3 & 0 & 3 \\
2 & 0 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 0 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 &-1 & 0 \\
2 & 0 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 &-1 & 0 \\
0 &-2 & 2 &-3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 &-3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

Alebo inak:
$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 3 &-2 & 2 \\
2 & 0 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 3 &-2 & 2 \\
0 &-1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 &-1 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 &-3 \\
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 &-1 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 &-1 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$

Skupina B

Doplňte zadané vektory $\vec x_1$, $\vec x_2$, $\vec x_3$ na bázu priestoru $\mathbb R^4$ alebo zdôvodnite, že sa to nedá.
$$\vec x_1=(2,1,3,1), \vec x_2=(1,-3,-2,2), \vec x_3=(2,0,2,1).$$

Spoiler:

$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 & 1 \\
1 &-3 &-2 & 2 \\
2 & 0 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 & 1 \\
3 &-3 & 0 & 3 \\
2 & 0 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 3 & 1 \\
2 & 0 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 2 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$
Alebo inak:
$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 & 1 \\
1 &-3 &-2 & 2 \\
2 & 0 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 &-3 &-2 & 2 \\
2 & 0 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 2 \\
2 & 0 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 &-3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

[Martin Sleziak]

Poznámky k vašim riešeniam

Podobne ako na písomke na výberovom cviku to niektorí z vás rátali tak, že overili lineárnu nezávislosť zadaných troch vektorov (napríklad pomocou sústavy), potom si náhodne vybrali ďalší vektor a overovali nezávislosť po pridaní. Toto riešenie nie je chybné, ale počítate pri ňom asi dvakrát toľko ako pri postupe, ktorý som napísal vyššie (cez redukovaný trojuholníkový tvar).

Niekto tvrdil v písomke tvrdil, že zadané vektory sa "nedajú doplniť na bázu, pretože tieto vektory už bázu tvoria."
Každá báza priestoru $\mathbb R^4$ má štyri prvky. Teda tri vektory nemôžu tvoriť bázu tohoto priestoru.
(Ak by som mal štyri vektory, ktoré sú lineárne nezávislé, tak tie vektory by tvorili bázu. Stále však platí, že sa dajú doplniť na bázu; len v tomto prípade ich dopĺňam nula vektormi, nemusím pridávať žiadny ďalší.)

[Martin Sleziak]

Ak ste zvedaví na to, aké úlohy boli na písomkách minulé roky:
viewtopic.php?t=549
viewtopic.php?t=550
viewtopic.php?t=551
viewtopic.php?t=552
viewtopic.php?t=815
viewtopic.php?t=816
viewtopic.php?t=818
viewtopic.php?t=819
viewtopic.php?t=820