Ešte raz doplnenie na bázu podpriestoru

[Martin Sleziak]

Na opravnú písomku sa nakoniec neprihlásil nik. A asi nie je veľmi pravdepodobné, že sa ešte nájdu nejakí záujemcovia.

Takže azda nie je úplne nezmyselné zverejniť aspoň tie príklady, čo boli nachystané na opravnú písomku a zdajú sa mi aspoň z nejakého dôvodu zaujímavé.

Konkrétne tento z takého dôvodu, že sa ma mailom niekto pýtal na veľmi podobný príklad. Okrem neho sem časom ešte dám jeden príklad na hľadanie inverznej matice s parametrom.

Doplňte vektory $\vec x_1$, $\vec x_2$ na bázu podpriestoru $S=[\vec y_1,\vec y_2,\vec y_3]$ v $\mathbb R^4$, alebo zdôvodnite, že sa to nedá.
$\vec x_1=(1,1,1,0)$, $\vec x_2=(0,0,0,1)$
$\vec y_1=(2,1,3,1)$, $\vec y_2=(1,3,-1,0)$, $\vec y_3=(1,2,0,2)$.

Riešenie.
Riadkovými úpravami môžeme zistiť, že $S=[(1,0,2,0),(0,1,-1,0),(0,0,0,1)]$. Z toho sa ľahko skontroluje, že $\vec x_{1,2}\in S$. (Dá sa vidieť aj to, že to je vlastne nadrovina $2a-b-c=0$; ak súradnice označíme $a$, $b$, $c$, $d$.)
Stačí už potom pridať nejaký tretí vektor z $S$ taký, že to očividne tvorí bázu; napríklad $\vec v=(0,1,-1,0)$. (Matica z vektorov $\vec x_1$, $\vec x_2$, $\vec v$ je po jednej výmene riadkov už v stupňovitom tvare, a teda sú to lineárne nezávislé vektory.)

Tu je výpočet bázy pre podpriestor $S$.

Spoiler:

$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 3 &-1 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
3 & 3 & 3 & 3 \\
1 & 3 &-1 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 3 &-1 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 2 &-2 &-1 \\
0 & 1 &-1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 &-1 & 1 \\
0 & 2 &-2 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 &-1 & 1 \\
0 & 0 & 0 &-3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$

Ak si všimnem, že v priebehu tohoto výpočtu som dostal (predposledná matica), že $S$ má bázu pozostávajúcu z vektorov $(1,1,1,0)$, $(0,0,0,1)$, $(0,1,-1,0)$; tak hneď vidím, že toto je báza, ktorá obsahuje $\vec x_1$, $\vec x_2$ (a pridali sme vektor $(0,1,-1,0)$.

Toto bola však skôr zhoda okolností ako niečo, čo sa bude dať použiť vždy. (Táto úloha bola jednoduchá aj v tom, že $\vec x_{1,2}$ boli už priamo zadané tak, že tvorili riadky matice v redukovanom stupňovitom tvare. Ešte niečo na fórum k úlohám takéhoto typu napíšem.)