Prednášky LS 2016/17

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Na rozdiel od minulých rokov je teraz tento predmet nasadený ako 3-hodinový kurz a nie zvlášť prednáška a zvlášť cvičenie. (V starej akreditácii to bolo P2+C1.) Takže na hodine to bude vyzerať tak, že niekedy budem viac hovoriť teóriu, niekedy budem viac prednášať príklady. Tu sa budem snažiť napísať jedno aj druhé.

[Martin Sleziak]

1. prednáška (20.2.)
Na začiatku bol nejaký stručný pokec - nejaký historický úvod a k čomu by to vlastne malo celé smerovať.
Potom sme zopakovali, ako vieme overovať tautológie. (Reálne sme si odskúšali $p\lor (q\land r) \Leftrightarrow (p\lor q)\land (p\lor r)$ a obmenu implikácie $(p\Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg q \Rightarrow \neg p)$.)
Zaoberali sme sa trochu výrokmi s kvantifikátormi. (Pozreli sme sa konkrétne na $\neg[(\forall x)P(x)] \Leftrightarrow (\exists x) \neg P(x)$ a ukázali sme si na príklade ako sa negujú výroky s kvantifikátormi. Ešte sme sa potom pozreli na to či platia aspoň niektoré implikácie z ekvivalencií: $(\exists x)(P(x) \land Q(x)) \Leftrightarrow [(\exists x)P(x) \land (\exists x)Q(x)]$, $(\exists x)(P(x) \lor Q(x)) \Leftrightarrow [(\exists x)P(x) \lor (\exists x)Q(x)]$.)
Zadefinovali sme rovnosť množín a inklúziu. Ako príklady tvrdení o množinách sme ukázali, že $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$. (Pomocou pravdivostnej tabuľky a aj pomocou Vennových diagramov.) Tiež sme ukázali, že z $A\subseteq B$ a $B\subseteq C$ vyplýva $A\subseteq C$.

Ak chcete, môžete sa zamyslieť nad tým, ako by vyzerali Vennove diagramy pre viac než 3 množiny: viewtopic.php?t=57
K dôkazu tranzitívnosti inklúzie pridám túto linku: viewtopic.php?t=62
Úlohu o asociatívnosti symetrickej diferencie (ktorú sme už nestihli) ste mohli stretnúť v inom kontexte kedysi na predmete Algebra: viewtopic.php?t=476

[Martin Sleziak]

2. prednáška (27.2.)
Zjednotenie a prenik systému množín. Zadefinovali sme zjednotenie a prienik ľubovoľného (neprázdneho) systému množín a ukázali sme si nejaké základné vlastnosti.
Karteziánsky súčin. Zadefinovali sme karteziánsky súčin. Ako cvičenie sme overili $A\times(B\cup C)=A\times B\cup A\times C$ a niektoré ďalšie podobné vlastnosti.
Funkcie. Definícia zobrazenia. Pripomenuli sme pojem injekcie, surjekcie, bijekcie. (Tie už poznáte z nižších ročníkov.) Povedali sme si, čo je vzor a obraz zobrazenia a overli sme niekoľko rovností, v ktorých vystupujú.

[Martin Sleziak]

3. prednáška (7.3.)
Karteziánsky súčin funkcií.
Kardinalita. Zadefinovali sme, kedy pre dve množiny platí $|X|=|Y|$ a $|X|\le|Y|$. Povedali sme si základne vlastnosti rovnosti a nerovnosti kardinálnych čísel. Z nich vlastne jediný náročnejší dôkaz bol dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety. (V poznámkach nájdete dva dôkazy tejto vety, ktoré sú do istej miery podobné - ja som robil iba jeden z nich.)

Potom sme riešili ešte nejaké príklady.
Začali sme s dôkazom vlastností, ktoré sa využívali v dôkaze Cantor-Bernsteinovej vety.
$A\subseteq B$ $\Rightarrow$ $f\left[A\right]\subseteq f\left[B\right]$
$A\subseteq B$ $\Rightarrow$ $C\setminus A \supseteq C\setminus B$
Ak pre každé $A\in\mathcal S$ platí $A\subseteq D$, tak platí aj $\bigcup \mathcal S \subseteq D$.
Potom sme sa ešte pozreli na vzor prieniku: $f^{-1}[\bigcap_{i\in I} B_i] = \bigcap_{i\in I} f^{-1}[B_i]$.
Ukázali sme si asociatívnosť symetrickej diferencie: $A\triangle(B\triangle C)=(A\triangle B)\triangle C$.
Spomenul som, že $(\mathcal P(X),\triangle,\cap)$ je komutatívny okruh s jednotkou pre akúkoľvek množinu $X\ne\emptyset$. (Môžete si skúsiť spomenúť, čo vlastne bolo v definícii komutatívneho okruhu s jednotkou a prípadne sa aj zamyslieť nad tým, či by ste aspoň niektoré časti z definície vedeli dokázať. Je možné, že ste túto úlohu už riešili na nejakom algebraickom predmete v nižších ročníkoch.)

[Martin Sleziak]

4. prednáška (16.3.)
Kardinálna aritmetika. Ešte sme sa vrátili k nerovnosti kardinálnych čísel a ukázali, že je dobre definovaná (a vysvetlili, čo to vlastne znamená). Zadefinovali sme sčitovanie, násobenie a umocňovanie kardinálov a začali sme dokazovať niektoré ich základné vlastnosti. Zatiaľ sme stihli dokázať že $|\mathcal P(X)|=2^{|X|}$ a viaceré vlastnosti sčitovania kardinálov.
Identita $\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$ a niektoré ďalšie identity týkajúce sa kardinálneho čísla $\aleph_0$ sa dajú porozprávať aj menej formálne pre stredoškolákov - Hilbertov hotel: viewtopic.php?t=467

Dostali sme sa aj k príkladom 2 a 4 z časti o kardinálnych číslach. T.j. ukázali sme, že $|\mathbb Z|=\aleph_0$ a že $|A|=|B|$ $\Rightarrow$ $|\mathcal P(A)|=|\mathcal P(B)|$ resp. že $|A|\le|B|$ $\Rightarrow$ $|\mathcal P(A)|\le|\mathcal P(B)|$.

Spoiler:

Z druhej časti vlastne vyplýva prvá, ale my sme overili obe.
Vlastne išlo o overenie, že ak $f\colon A\to B$ je injekcia, surjekcia, bijekcia, tak aj zobrazenie $\varphi \colon \mathcal P(A) \to \mathcal P(B)$ definované ako $\varphi(C)=f[C]$ je injekcia, surjekcia, bijekcia.
Prvá časť je v podstate overenie, že pre injekciu platí $f[C_1]=[C_2]$ $\Rightarrow$ $C_1=C_2$.
Ešte sme stihli ukázať, že $f[f^{-1}[D]]\subseteq D$ platí pre ľubovoľné zobrazenie.
Už zostávalo iba dokázať, že pre surjekciu máme aj $D \subseteq f[f^{-1}[D]]$; túto časť sme už nestihli.

Okrem toho sme na chvíľu ešte odbočili k $|(0,1)|=|\mathbb R|$; k tejto rovnosti sa ešte na prednáške dostaneme. Dnes sme videli, že sa dá ukázať napríklad aj pomocou takého obrázku aký nájdete tu.

[Martin Sleziak]

5. prednáška (20.3.):
Kardinálna aritmetika, Vlastnosti násobenia kardinálov. (S výnimkou $a\le b$ $\Rightarrow$ $ac=bc$ som len povedal, že dôkazy sú pomerne ľahké a nechal ich na cvičenia - prípadne si ich môžete pozrieť v poznámkach na webe.)
Vlastnosti kardinálneho umocňovania: Ukázali sme, že $a^2=a\cdot a$, $a\le b$ $\Rightarrow$ $a^c\le b^c$, $(a^b)^c=a^{bc}$.
Na cviku sme potom dokázali $a\le b$ $\Rightarrow$ $c^a\le c^b$ (pre $c\ne0$).
Dôkazy týchto dvoch vlastností nebudeme robiť: $a^{b+c}=a^b\cdot a^c$, $(ab)^c=a^c\cdot b^c$. (V prípade záujmu sa dajú pozrieť v poznámkach.)

Na cvičení sme strávili nejaký čas aj s tým, čomu sa rovná $0^0$. (Resp. aj $a^0$ a $0^a$ pre $a\ne 0$.) viewtopic.php?t=343

Okrem toho sme prešli príklady 8 a 7 týkajúce sa kardinálov, čiže $\mathfrak c = \mathfrak c\cdot \mathfrak c = \mathfrak c^{\aleph_0}$ a $\aleph_0^{\aleph_0}=\mathfrak c$. (Pri poslednej spomínanej úlohe sme potrebovali využiť nerovnosť $a^b\le 2^{ab}$, ktorú sme zatiaľ na prednáške nespomínali.)

[Martin Sleziak]

6. prednáška (27.3.):
Umocňovanie kardinálov. Ešte sme sa vrátili k tomu, že umocňovanie kardinálov je dobre definované. Ukázali sme, že $a^b\le 2^{ab}$. (Z čoho ako dôsledok dostaneme $a\le 2^a$.)
Cantorova veta. Cantorova veta: $a<2^a$ resp. $|A|<|\mathcal P(A)|$. Ukázali sme si všeobecný dôkaz, potom sme si ho ešte raz ilustrovali na príklade $A=\mathbb N$, aby bolo jasnejšie, prečo sa metóde dôkazu hovorí Cantorova diagonálna metóda.
Spočítateľné a nespočítateľné množiny. Zjednotenie spočítateľne veľa spočítateľných množín je opäť spočítateľné. Množina racionálnych čísel $\mathbb Q$ je spočítateľná. Ľubovoľná množina disjunktných netriviálnych intervalov na priamke musí byť spočítateľná.

Z organizačných vecí sme sa trochu rozprávali o termínoch písomiek: viewtopic.php?t=1064

Ešte sme prerátali nejaké príklady na kardinality: Výpočet ${(2^{\mathfrak c})}^{2^{\mathfrak c}}$, $|\mathbb R^{\mathbb N}|$, $|\mathbb N^{\mathbb R}|$. Kardinalita množiny konvergentných postupností reálnych čísel je $\mathfrak c$. To isté platí pre postupnosti konvergujúce k nule. Ešte sme sa pozreli na postupnosti prirodzených čísel, ktoré sú od istého miesta nulové, a ukázali sme si, že takých postupností je $\aleph_0$. (Využili sme, že to je zjednotenie spočítateľne veľa spočitateľných množín.)

[Martin Sleziak]

7. prednáška (3.4.):
Kardinalita množiny $\mathbb R$:
Dokázali sme, že $|\mathbb R|=\mathfrak c$. (Dôkaz som robil trochu inak ako v texte k prednáške - robil som v desiatkovej sústave, nie v dvojkovej. Navyše som nedokazoval, že čísla s konečným rozvojom sú jediný prípad, kedy má číslo nejednoznačný zápis. Pre dyadický - dvojkový - zápis je táto vec v texte k prednáške dokázaná detailne.)
Dokázali sme ešte, že množina všetkých spojitých zobrazení z $\mathbb R$ do $\mathbb R$ má kardinalitu $\mathfrak c$.
V texte k prednáške sa dá nájsť ešte iný dôkaz, že množina reálnych čísel je nespočítateľná (príklad 3.5.4), ktorý je založený na diagonálnom argumente.

Potom sme sa ešte venovali nejakým príkladom. Konkrétne sme sa pozreli na príklad 5 z časti o kardinálnych číslach (t.j. z $|A\setminus B|=|B\setminus A|$ vyplýva $|A|=|B|$), príklady 1,3,5 z časti opakovanie a v príklad 4 z časti o spočítateľných množinách.
V súvislosti s týmto príkladom - kde sa počítala kardinalita množiny bijekcií z $\mathbb N$ do $\mathbb N$ - pridám linku na starší post týkajúci sa rovnakého problému pre bijekcie: viewtopic.php?t=151