Rovnomocná spojitosť a rovnomerná ohraničenosť

[Martin Sleziak]

Keď sme dokazovali pomocou reálnej indukcie Arzela-Ascoliho vetu, tak sme sa rozprávali aj o tom, že v predpokladoch je rovnomerná ohraničenosť.
Neskôr som si uvedomil, že v dôkaze ktorý som robil, mi úplne stačila aj bodová ohraničenosť.

Ako sa ukázalo, pre rovnomocne spojité funkcie sú to ekvivalentné podmienky. Dá sa pozrieť napríklad tu: Why is an equicontinuous and pointwise bounded sequence of real-valued functions on a compact metric space uniformly bounded?

Dokonca by úplne stačila aj ohraničenosť v jednom bode: Why is this sequence of equicontinuous functions uniformly bounded?

Obe tvrdenia, ktoré spomínam, sa týkajú uzavretého intervalu na reálnej osi. (To je situácia, s ktorou sme sa zaoberali v spomínanom dôkaze.) Prvé z nich však prejde aj pre ľubovoľný kompakt, v druhom by sme navyše zrejme potrebovali aby bol aj súvislý.