Úloha 5.2. Nájdite vlastné vektory a vlastné hodnoty a regulárnu maticu P

[adrianmatejov]

Úloha 5.2. Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory daných matíc nad poľom $\mathbb C$. Ak taká matica existuje, nájdite regulárnu maticu $P$
s vlastnosťou, že $PAP^{-1}$ je diagonálna:
a) $\begin{pmatrix}1&2\\2&-2\end{pmatrix}$; b) $\begin{pmatrix}4&1\\3&2\end{pmatrix}$; c) $\begin{pmatrix}-1&2i\\-2i&2\end{pmatrix}$.

a)
$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & -2\end{pmatrix}$
Vypočítame charakteristický polynóm

$|A-xI| = \begin{vmatrix}1-x & 2 \\ 2 & -2-x\end{vmatrix} = (1-x)(-2-x) - 4 = (x+3)(x-2)$
Vlastné čísla sú $-3$ a $2$

Vlastné vektory k $-3$
$(A+3I)^T = \begin{pmatrix}4 & 2 \\ 2 & 2\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ Množina riešení je $[(-\frac{1}{2},1)]=[(-1,2)]$

Vlastné vektory k $2$
$(A-2I)^T = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 2 & -4\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1 & -2 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$
Množina riešení je $[(2,1)]$

A teda
$P = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 2 & 1\end{pmatrix}$
$D = \begin{pmatrix}-3 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$
Platí $PAP^{-1} = D$ (overenie)


b)
$A = \begin{pmatrix}4 & 1 \\ 3 & 2\end{pmatrix}$
Vypočítame charakteristický polynóm

$|A-xI| = \begin{vmatrix}4-x & 1 \\ 3 & 2-x\end{vmatrix} = (4-x)(2-x) - 4 = (x-5)(x-1)$
Vlastné čísla sú $5$ a $1$

Vlastné vektory k $5$
$(A-5I)^T = \begin{pmatrix}-1 & 3 \\ 1 & -3\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1 & -3 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ Množina riešení je $[(3,1)]$

Vlastné vektory k $1$
$(A-I)^T = \begin{pmatrix}3 & 3 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ Množina riešení je $[(-1,1)]$

A teda
$P = \begin{pmatrix}3 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}$
$D = \begin{pmatrix}5 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$
Platí $PAP^{-1} = D$ (overenie)


c)
$A = \begin{pmatrix}-1 & 2i \\ -2i & 2\end{pmatrix}$
Vypočítame charakteristický polynóm

$|A-xI| = \begin{vmatrix}-1-x & 2i \\ -2i & 2-x\end{vmatrix} = (-1-x)(2-x)-4 = x^2-x-6 = (x+2)(x-3)$
Vlastné čísla sú $-2$ a $3$

Vlastné vektory k $-2$
$(A+2I)^T = \begin{pmatrix}1 & -2i \\ 2i & 4\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1 & -2i \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ Množina riešení je $[(2i,1)]$

Vlastné vektory k $-3$
$(A-3I)^T = \begin{pmatrix}-4 & -2i \\ 2i & 1\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}-4 & -2i \\ 0 & 2\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$
Množina riešení je $[(0,0)]$ , a toto je problém. Znamená to že neexistuje matica $P$ taká, že $PAP^{-1}=D$

[Martin Sleziak]

Vlastné vektory k $-3$
$(A-3I)^T = \begin{pmatrix}-4 & -2i \\ 2i & 1\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}-4 & -2i \\ 0 & 2\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$
Množina riešení je $[(0,0)]$ , a toto je problém. Znamená to že neexistuje matica $P$ taká, že $PAP^{-1}=D$

Vieme, že ku každému vlastnému číslu existuje vlastný vektor.
Ak ste zistili, že 3 je vlastné číslo a súčasne ste k 3 nenašli vlastný vektor, tak viete, že niekde treba hľadať chybu. (Buď 3 nie je vlastné číslo, alebo ste spravili chybu pri hľadaní vlastných vektorov.)
Skúste sa pozrieť na to, či ste maticu $A-3I$ zapísali správne.

Samozrejme, vo všeobecnosti sa môže stať, že nájdeme menej vlastných vektorov než je algebraická násobnosť vlastného čísla; t.j. násobnosť vlastného čísla ako koreňa charakteristického polynómu. Vtedy by Jordanov tvar nebol diagonálny.
V tomto konkrétnom prípade však už z výpočtu vlastných čísel vieme povedať, že matica je podobná s diagonálnou. (Všetky korene charakteristického polynómu sú jednoduché. Našli sme toľko rôznych vlastných čísel, koľko je rozmer matice. O tomto sme mali aj vetu na prednáške.)

[adrianmatejov]

Vlastné vektory k $-3$
$(A-3I)^T = \begin{pmatrix}-4 & -2i \\ 2i & -1\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}2i & -1 \\ -4 & -2i\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}2i & -1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$
Množina riešení je $[(-\frac{1}{2}i,1)] = [(-i,2)]$

Potom to už platí $PAP^{-1}=D$ (wolfram)

[Martin Sleziak]

Ok, značím si 1 bod. (Čiže za úlohy na fóre máte 5 bodov - maximum.)