Prednášky ZS 2017/18

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška (25.9.)
Zobrazenia. Definícia zobrazenia, definícia injekcie, surjekcie a bijekcie. Niekoľko jednoduchých príkladov.
Ešte sme dokázali, že skladanie zobrazení je asociatívne a tiež to, že skladanie zobrazení zachováva injektívnosť, surjektívnosť, bijektívnosť.

[Martin Sleziak]

2. prednáška (2.10.)
Zobrazenia. Definícia inverzného zobrazenia. Inverzné zobrazenie $f^{-1}$ existuje p.v.k. $f$ je bijekcia. (Iba som vyslovil toto tvrdenie, dôkaz som nechal na cvičenia.) Pre inverzné zobrazenie platí: $(f^{-1})^{-1}=f$ a $(g\circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1}$.
Binárne operácie. Definícia a príklady. Neutrálny prvok (ľavý a pravý neutrálny prvok, jednoznačnosť), komutatívnosť, asociatívnosť, inverzný prvok. (Nestihol som dokázať jednoznačnosť inverzného prvku pre asociatívne operácie - k nemu sa ešte vrátim. Nerobil som ani dôkaz asociatívnosti operácie $\oplus$ na $\mathbb Z_5$.)

Nerobili sme zovšeobecnený asociatívny zákon, ktorý hovorí o tom, že pre asociatívnu operáciu nezáleží na uzátvorkovaní ani pre viac ako 3 prvky. Ak si niekto chce pozrieť dôkaz, nejaký je napísaný v texte. Každopádne by ste si to mohli skúsiť rozmyslieť aspoň pre 4 prvky. Je to vyriešené aj v texte, takže si tam môžete svoje riešenie skontrolovať. Dúfam, že sa k tomu dostaneme aj na cvičení.

[Martin Sleziak]

3. prednáška (29.9.)
Binárne operácie. Jednoznačnosť inverzného prvku
Grupy. Definícia grupy. Dokázali sme zákony o krátení a tiež $(a*b)^{-1}=(b^{-1}*a^{-1})$, $(a^{-1})^{-1}=a$.
Pozreli sme sa ešte na to, že pre asociatívnu binárnu operáciu dáva ľubovoľné uzátvorkovanie 4 prvkov ten istý výsledok.

Polia. Definícia poľa. Príklady polí.
Ak $n$ je prvočíslo, tak $(\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$ je pole. Z nej som stihol ukázať zatiaľ iba to, že $(\mathbb Z_n,\oplus)$ je komutatívna grupa a že ak $n$ je prvočíslo, tak sa dá krátiť nenulovým prvkom. (T.j. pre $a\ne0$ platí $a\cdot b=a\cdot c$ $\Rightarrow$ $b=c$.)
Dôkaz tejto vety skúsime dokončiť na cvičení.

[Martin Sleziak]

4. prednáška (29.9.)
Polia. Dokončili sme dôkaz, že $(\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$ je pole pre každé prvočíslo $n$. Prešli sme niektoré jednoduché vlastnosti, ktoré platia v každom poli.
Vektorové priestory. Zadefinovali sme vektorový priestor. Ukázali sme si konkrétne príklady: vektory v rovine, $\mathbb R^n$, $\mathbb R^{\mathbb R}$. (Resp. všeobecnejšie - pre ľubovoľnú neprázdnu množinu $M$ a ľubovoľné pole $F$ dostaneme vektorové priestory $F^n$ a $F^M$.) Ukázali sme si niektoré jednoduché vlastnosti vektorových priestorov.
Ešte sme si ukázali, že vo vektorovom priestore $(\mathbb Z_2)^n$ platí $\vec\alpha+\vec\alpha=\vec0$ pre ľubovoľný vektor. (Ako príklad toho, že ak robíme s vektorovými priestormi nad ľubovoľným poľom resp. nad konečnými poľami tak sa môžu správať trochu inak ako sme zvyknutí.)

[Martin Sleziak]

5. prednáška (23.10.):
Podpriestory. Definícia a niekoľko príkladov. Kritérium vektorového podpriestoru. Prienik ľubovoľného systému podpriestorov je opäť podpriestor. (Ak je tento dôkaz nejasný, oplatí sa pozrieť si jednoduchší prípad, keď máme iba dva podpriestory.)
Lineárna kombinácia. Definícia lineárnej kombinácie, lineárny obal. Lineárny obal je podpriestor. Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n\in S$, tak $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]\subseteq S$. (Teda lineárny obal je najmenší podpriestor obsahujúci $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$.) Vektor $\vec\alpha$ je lineárnou kombináciou vektorov $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ práve vtedy, keď $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]=[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n,\vec\alpha]$.

[Martin Sleziak]

6. prednáška (2.11.):
Lineárna nezávislosť. Definícia lineárnej závislosti a nezávislosti. Príklady. Lineárna závislosť pre jeden resp. dva vektory. Vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných/predchádzajúcich. Steinitzova veta o výmene (dôkaz a vysvetlili sme si ju aj na konkrétnom príklade).

******************

Na prednáške sme si povedali dve ekvivalentné definície lineárnej nezávislosti. (Vektory sú lineárne nezávislé ak nie sú lineárne závislé. Ekvivalentná podmienka bola vyjadrená implikáciou $c_1\vec\alpha_1+\dots+c_n\vec\alpha_n=\vec0$ $\Rightarrow$ $c_1=\dots=c_n=0$.) Ak niektorým z vás nebolo jasné, že sú skutočne ekvivalentné, odporúčam sa nad tým ešte zamyslieť. Prípadne sa môžete pozrieť na poznámku 4.3.12 v texte - to je ale skôr cvičenie na negácie výrokov z kvantifikátormi, ale možno to môže tiež pomôcť.

******************

Pár doplňujúcich poznámok - ktoré sú do istej miery navyše.

Tiež sa občas vyskytli na dnešnej prednáške také veci, kde sme sa potrebovali zamyslieť nad niečím ako: Čo je lineárna kombinácia 0 vektorov resp. prázdnej množiny vektorov? Čo je lineárny obal 0 vektorov (resp. prázdnej množiny vektorov)? Podobná otázka by bola: Ak mám 0 vektorov, sú lineárne nezávislé? (Inak: je prázdna množina vektorov lineárne nezávislá?) Ja sa budem snažiť formulovať všetky veci tak, aby sme sa vyhli takýmto krajným prípadom. (Asi by bolo lepšie, aby sme viac času strávili rozmýšľaním nad takými "štandardnejšími" situáciami.) Ale kto chce, môže sa nad tým skúsiť zamyslieť. (A ak bude treba môžem časom dopísať niečo na fórum.)

Spoiler:

Pre istotu doplním pre ľudí, ktorí dnes neboli. Obe veci, ktoré sa dnes prebrali - lineárna závislosť/nezávislosť aj Steinitzova veta - sú dosť dôležité. K Steinitzovej vete napíšem ale aj to, že sa na ňu možno chvíľu môžete pozerať ako na čiernu skrinku - dôležité je porozumieť čo vlastne hovorí a potom ju môžeme používať. Ak by bol problém s pochopením dôkazu, tak k nemu sa môžete vrátiť neskôr. (V prípade, že by pre ľudí čo dnes neboli niektoré veci z dnešnej prednášky spôsobovali pri samostatnom naštudovaní problémy, tak som ochotný spraviť niekedy niečo medzi konzultáciami a prednáškou špeciálne na tento účel.)

[Martin Sleziak]

7. prednáška (6.11.):
Báza a dimenzia. Definícia konečnorozmerného priestoru, definícia bázy. Ľubovoľné dve bázy majú rovnaký počet prvkov, každý konečnorozmerný priestor (okrem $V=\{\vec0\}$) má bázu. Dimenzia vektorového priestoru.
Ekvivalentné podmienky, kedy vektory tvoria bázu. Vzťah dimenzie priestoru a podpriestoru. (Toto som nedokazoval - nechal som na rozmyslenie.) Ak $S$ je podpriestor $V$ a $d(S)=d(V)$, tak $S=V$.

*****

V texte v tejto kapitole nájdete nejaké veci, ktoré som nehovoril na prednáške. Konkrétne som nerobil príklad 4.4.19 - ale veľa takýchto príkladov bude na cviku. Možno sa vám oplatí zamyslieť sa nad poznámkou 4.4.20, ktorá s týmto príkladom súvisí - ale opäť, ide o vec, ktorú budete počuť ešte viackrát.

Nerobil som príklad 4.4.21. To je ten istý príklad, ktorý je napísaný tu: viewtopic.php?f=6&t=349
Ide tam o dôkaz toho, že $\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$ tvorí s obvyklým sčitovaním a násobením pole. Koho to zaujíma, môže sa pozrieť - je to ukážka, že občas môžu veci z lineárnej algebry pomôcť v situáciách, kde by sme ich na prvý pohľad neočakávali. (A podobné veci budeme používať v Algebre 2, keď sa budeme rozprávať o rozšíreniach polí.)

Ak stihneme, tak niekedy na cviku sa dostaneme k nejakému príkladu vektorového priestoru, ktorý nie je konečnorozmerný. (Druhá možnosť je, že niečo také dám ako úlohu sem na fórum. Dá sa to pozrieť v príklade 4.4.22.) Pre nás budú zaujímavé hlavne konečnorozmerné priestory.

Nehovoril som nič z poznámky 4.4.23 - tá hovorí iba o tom, že podobné veci fungujú aj v nekonečnorozmerných priestoroch. (My sme definovali lineárnu nezávislosť a lineárny obal iba pre konečne veľa vektorov; dalo by sa to spraviť aj pre ľubovoľnú množinu vektorov, nie nutne konečnú. Potom sa dá hovoriť o báze aj v nekonečnorozmerných priestoroch.)

[Martin Sleziak]

8. prednáška (13.11.):
Riadková ekvivalencia a redukovaná trojuholníková matica. Zadefinovali sme elementárne riadkové operácie a riadkovú ekvivalenciu matíc. Ukázali sme si, že riadkové operácie nemenia podpriestor prislúchajúci matici. Zadefinovali sme RTM a ukázali sme si, že každá matica sa dá upraviť na redukovaný trojuholníkový tvar. Tiež sme ukázali, ako sa dá zistiť či vektor patrí do $V_A$ ak $A$ je v redukovanom trojuholníkovom tvare a ako dôsledok sme dostali, že nenulové riadky redukovanej trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé.

[Martin Sleziak]

9. prednáška (20.11.):
Riadková ekvivalencia. Pre redukované trojuholníkové matice rovnakých rozmerov platí $V_A=V_B$ práve vtedy, keď $A=B$. Z toho sme ako dôsledok dostali ekvivalentné podmienky pre riadkovú ekvivalenciu matíc.
Definícia hodnosti matice.

Odporúčam si samostatne pozrieť tieto veci:
* Príklad 5.2.16, ktorý ilustruje na konkrétnom príklade jeden z krokov dôkazu vety 5.2.15. (Hlavne v prípade, že ten dôkaz bol nejasný.)
* Poznámku 5.2.18, z ktorej vidno, že veci ktoré sme sa naučili, možno využiť aspoň na čiastočnú skúšku správnosti pri úprave na RTM. (Ale o tomto budeme hovoriť i na cviku.)
* Poznámka 5.2.19 upozorňuje na istú nepresnosť, ktorej sa študenti často dopúšťajú a neskôr môže spôsobovať problémy pri využití elementárnych riadkových operácií na výpočet determinantov. (Snáď aj toto stihnem spomenúť na cviku.)

Lineárne zobrazenia. Definícia, príklady, ekvivalentné podmienky. Lineárne zobrazenie je jednoznačne určené obrazmi bázových vektorov. Zloženie lineárnych zobrazení je lineárne zobrazenie. (Na konci som stručne spomenul, že lineárne zobrazenia by sme vedeli aj sčitovať a násobiť skalárom - pričom výsledok je opäť lineárne zobrazenie. Ako uvidíme, skladanie lineárnych zobrazení bude pre nás dôležitejšie.)