Newtonov integrál

[Martin Sleziak]

Na minulom seminári V. Toma hovoril o Newotonovom integrále, ktorý bol zavedený zhruba takto:

Definícia. Nech $f\colon[a,b]\to\mathbb R$. Ak existuje $F\colon [a,b]\to\mathbb R$ také, že $F'(x)=f(x)$ pre všetky $x\in [a,b]\setminus N$, kde $N$ je nejaká spočítateľná množina, tak definujeme
$$\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x = F(b)-F(a).$$

Pre spojité $F$ sa dalo ukázať, že takýto integrál je jednoznačne určený (ak existuje). Takýto integrál (s podmienkou že $F$ je spojitá) sme nazvali Newtonov integrál.

Poznamenám tiež, že ak by sme zobrali namiesto toho $N$ množinu miery nula, tak po pridaní podmienky, že $F$ sa na $N$ nesmie "prudko" meniť dostaneme charakterizáciu K-H integrálu, ktorú sme spomínali tu: viewtopic.php?t=1097

Na seminári referujúci spomenul že ide podľa knihy Lyashko, Boyarchuk, Gai, Kalaida: Matematicheski analiz 1 (Ляшко, А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, А. Ф. Калайда: Математический анализ Ч. 1 : Учебник для математических специальностей университетов). Odkaz na tento text našiel v knihe od Geru a Ďurikoviča.

Ak nájdeme nejaké ďalšie referencie na tento typ integrálu (t.j. definovaný pomocou funkcie "primitívnej až na spočítateľnú množinu") tak by sme ich mohli pozbierať tu.

[Martin Sleziak]

V texte Brian S. Thomson: The Calculus integral som našiel v kapitole 4.2.1 Calculus integral [countable set version] niečo takéto:

Our original calculus integral was defined in way that was entirely dependent on the simple fact that continuous functions that have a zero derivative at all but a finite number of points must be constant. We now know that that continuous functions that have a zero derivative at all but a countable number of points must also be constant. Thus there is no reason not to extend the calculus integral to allow a countable exceptional set.

Potom nasleduje definícia integrálu skoro rovnaká, ako je uvedená vyššie. (Líši sa požiadavkou, že $F$ je rovnomerne spojitá. Ak sa zaujímame iba o uzavreté intervaly, tak to nič nezmení.) Autor ďalej píše:

There is currently at least one analysis textbook available that follows exactly this program, replacing the Riemann integral by the Newton integral (with countably many exceptions):

Mathematical Analysis I, by Elias Zakon, ISBN 1-931705-02-X, published by The Trillia Group, 2004. 355+xii pages,
This can be downloaded freely from the web site http://www.trillia.com/zakon-analysisI.html

Iné miesto, kde som našiel niečo o integrále definovaným takýmto spôsobom, je táto otázka na MathOverflow: Defining definite integral using indefinite integral.