DU4 - ZS 2024/25

[Martin Sleziak]

Zadanie

Vo všetkých 4 skupinách je zadanie rovnaké: Pre dané podmnožiny $S$, $T$ priestoru $V=\mathbb R^4$ rozhodnite, či ide o~vektorové podpriestory. (Svoje tvrdenie aj zdôvodnite.)

1. $S=\{(a,b,c,d)\in\mathbb R^4; |a|=|b|=|c|=|d|\}$ a $T=\{(a,b,c,d)\in\mathbb R^4, a=b=c=d\}$.

2. $S=\{(a,b,c,d)\in\mathbb R^4; a^2+b^2+c^2+d^2=0\}$ a $T=\{(a,b,c,d)\in\mathbb R^4, a+b+c+d=0\}$.

3. $S=\{(a,b,c,d)\in\mathbb R^4; |a|-|b|+|c|-|d|=0\}$ a $T=\{(a,b,c,d)\in\mathbb R^4, a-b+c-d=0\}$.

4. $S=\{(a,b,c,d)\in\mathbb R^4; a^2+b^2-c^2-d^2=0\}$ a $T=\{(a,b,c,d)\in\mathbb R^4, a+b-c-d=0\}$.


Riešenia

Vo všetkých skupinách je $T$ podpriestor a overiť sa to dá pomerne priamočiaro z definície -- nebudem tu písať detaily.

$S$ je podpriestorom iba v jednom prípade -- treba si uvedomiť, že
$$S_2=\{(a,b,c,d)\in\mathbb R^4; a^2+b^2+c^2+d^2=0\}=\{(0,0,0,0)\},$$
lebo čísla, ktoré tu sčitujeme, sú nezáporné a nulu môžeme dostať iba ak as všetky rovnajú nule. A $a^2=b^2=c^2=d^2=0$ okamžite vidíme, že aj $a=b=c=d=0$.

V ostatných skupinách treba nájsť nejaké kontrapríklady ukazujúce, že $S$ nie je uzavreté na súčet.

$$S_1=\{(a,b,c,d)\in\mathbb R^4; |a|=|b|=|c|=|d|\}$$

$(1,1,1,1),(1,1,-1,-1)\in S_1$ ale $(1,1,1,1)+(1,1,-1,-1)=(2,2,0,0)\notin S_1$;
$(1,1,0,0),(1,-1,0,0)\in S_1$ ale $(1,1,0,0)+(1,-1,0,0)=(2,0,0,0)\notin S_1$

$$S_3=\{(a,b,c,d)\in\mathbb R^4; |a|-|b|+|c|-|d|=0\}$$

$(1,1,1,1),(1,-1,1,-1)\in S_3$ ale $(1,1,1,1)+(1,-1,1,-1)=(2,0,2,0)\notin S_3$;
$(1,1,0,0),(1,-1,0,0)\in S_3$ ale $(1,1,0,0)+(1,-1,0,0)=(2,0,0,0)\notin S_3$

$$S_4=\{(a,b,c,d)\in\mathbb R^4; a^2+b^2-c^2-d^2=0\}$$

$(1,1,1,1),(1,1,-1,-1)\in S_4$ ale $(1,1,1,1)+(1,1,-1,-1)=(2,2,0,0)\notin S_4$;
$(1,0,0,1),(1,0,0,-1)\in S_4$ ale $(1,0,0,1)+(1,0,0,-1)=(2,0,0,0)\notin S_4$

[Martin Sleziak]

Časté chyby

V definícii podpriestoru je aj neprázdnosť. (Čiže sa oplatí začať tým, že skontrolujeme či obsahuje nulový vektor.)

Viacerí z vás ste napísali riešenia ako keby platilo
\begin{align*}
|x+y|&=|x|+|y|\\
(x+y)^2&=x^2+y^2
\end{align*}
pre ľubovoľné $x, y \in \mathbb R$.
Tieto rovnosti vo všeobecnosti nemusia platiť.

Hoci opakujem to, čo ste už počuli veľakrát:
Ak tvrdíte, že nejaká vlastnosť neplatí, tak stačí nájsť jeden konkrétny kontrapríklad.
Ak tvrdíte, že niečo platí pre ľubovoľný prvok z danej množiny, tak nestačí overiť to pre konkrétne prvky, treba nájsť nejaký argument, ktorý funguje všeobecne.
(Napríklad ak tvrdíte, že $T$ je podpriestor, tak nestačí zobrať nejaké dva konkrétne vektory z $T$ a ukázať že súčet je opäť z $S$. Treba to zdôvodniť pre ľubovoľné $\vec\alpha,\vec\beta\in T$. Podobná poznámka platí pre skalárny násobok.)

[Martin Sleziak]

Príklad z druhej skupiny je možno aj vhodná ilustrácia toho, čo často opakujem pri úlohách takéhoto typu (kde máme overiť platnosť nejakej identity) - že je užitočné skúsiť nájsť aj konkrétny kontrapríklad, keď tvrdíme, že nejaká identita neplatí.

Našli sa riešenia, ktoré sa zhruba dajú parafrázovať takto:

Je množina
$$S=\{(a,b,c,d)\in\mathbb R^4; a^2+b^2+c^2+d^2=0\}$$
podpriestorom $\mathbb R^4$?

Máme dva vektory $(a_1,b_1,c_1,d_1),(a_2,b_2,c_2,d_2)\in S$, chceme overiť či aj ich súčet patrí do $S$. T.j. vieme, že
\begin{align*}
a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2&=0\\
a_2^2+b_2^2+c_2^2+d_2^2&=0
\end{align*}
Chceme overiť, či $(a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2,d_1+d_2\in S)$, t.j. či aj pre tento vektor nám súčet druhých mocnín dá nulu. Upravme výraz, ktorý takto dostaneme:
\begin{align*}
(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2+(c_1+c_2)^2+(d_1+d_2)^2
&=(a_1^2+2a_1a_2+a_2^2)+(b_1^2+2b_1b_2+b_2^2)+(c_1^2+2c_1c_2+c_2^2)+(d_1^2+2d_1d_2+d_2^2)\\
&=(a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2)+2(a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2+d_1d_2)+(a_2^2+b_2^2+c_2^2+d_2^2)\\
&=2(a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2+d_1d_2)
\end{align*}
Vyšiel nám výraz, ktorý sa nerovná nule, teda súčet dvoch vektorov $S$ nemusí patriť do $S$ a $S$ nie je podpriestor.

Toto riešenie je nesprávne.
Je síce pravda, že sme na pravej strane dostali výraz, ktorý nie je vždy nulový. (T.j. existujú reálne čísla, ktoré keď tam dosadíme, vyjde nám niečo nenulové.)
Ak však dosadíme iba vektory z $S$, tak máme $a_1=b_1=c_1=d_1=0$ aj $a_2=b_2=c_2=d_2=0$, a vtedy je pravá strana nulová.

Úloha by sa zmenila, ak by sme pracovali v $\mathbb C^4$. Práve uvedené úpravy by nám pomohli nájsť príklad vektorov z $\mathbb C^4$, kde súčet druhých mocnín je nula, ale neplatí to pre súčet týchto vektorov.

Ak sme teda upravovali nejaké výrazy súvisiace s identitou, ktorú overujeme, nestačí nám to, že sme na ĽS a PS dostali nejaké dve rôzne vyjadrenia. Dôležité je aj to, či sú naozaj rôzne pre prvky z množiny, s ktorou pracujeme. (Je to síce taký veľmi naivný príklad, ale azda aspoň trochu vidno, že v čom by mohol niekedy nastať problém.)