V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých cvičeniach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť - aby si mohli pozrieť, čo sa vlastne robilo.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Určite cvičenia nebudú úplne presne totožné s tým, čo sme robili po minulé roky. Ak sa chcete pozrieť, čo sa robilo na cvičeniach v minulosti, môžete sa pozrieť tu:
viewtopic.php?t=716
viewtopic.php?t=311
Cvičenia ZS 2017/18
Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, Nina Hronkovičová, bpokorna, davidwilsch, jaroslav.gurican, makovnik
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2017/18
28.9. nebolo cvičenie - dekanské voľno (imatrikulácia): http://zona.fmph.uniba.sk/detail-novink ... i-2892017/
1. cvičenie: (5.10.)
Zobrazenia.
Dokázali sme, že inverzné zobrazenie k $f$ existuje práve vtedy, keď $f$ je bijekcia. (Táto veta aj s dôkazom sa dá nájsť v poznámkach.)
Jednu implikáciu sme robili trochu všeobecnejšie, dokázali sme si, že:
a) Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia.
b) Ak $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia.
Permutácie. Povedali sme si niečo o permutáciách a ich skladaní. Ukázali sme, ako sa vypočíta zložená permutácia, inverzná permutácia a $\tau^n$ pre nejakú permutáciu $\tau$. (V podstate sme prešli podkapitolu 2.3 z poznámok.)
Chvíľu sme sa rozprávali aj o tom ako by sa indukciou definovalo $\tau^n$ a ako by sa matematickou indukciou o tom dokazovali nejaké veci (napríklad $\tau^n\circ\tau^k=\tau^{n+k}$ alebo $(\tau^n)^k=\tau^{nk}$). Ak si chcete precvičiť úlohy na matematickú indukciu takéhoto typu, môžete sa pozrieť v poznámkach na definíciu 3.3.12 a úlohu 3.3.5, kde sa veľmi podobné veci robia s prvkami poľa, súčtom a súčinom.
1. cvičenie: (5.10.)
Zobrazenia.
Dokázali sme, že inverzné zobrazenie k $f$ existuje práve vtedy, keď $f$ je bijekcia. (Táto veta aj s dôkazom sa dá nájsť v poznámkach.)
Jednu implikáciu sme robili trochu všeobecnejšie, dokázali sme si, že:
a) Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia.
b) Ak $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia.
Permutácie. Povedali sme si niečo o permutáciách a ich skladaní. Ukázali sme, ako sa vypočíta zložená permutácia, inverzná permutácia a $\tau^n$ pre nejakú permutáciu $\tau$. (V podstate sme prešli podkapitolu 2.3 z poznámok.)
Chvíľu sme sa rozprávali aj o tom ako by sa indukciou definovalo $\tau^n$ a ako by sa matematickou indukciou o tom dokazovali nejaké veci (napríklad $\tau^n\circ\tau^k=\tau^{n+k}$ alebo $(\tau^n)^k=\tau^{nk}$). Ak si chcete precvičiť úlohy na matematickú indukciu takéhoto typu, môžete sa pozrieť v poznámkach na definíciu 3.3.12 a úlohu 3.3.5, kde sa veľmi podobné veci robia s prvkami poľa, súčtom a súčinom.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2017/18
2. cvičenie: (12.10.)
Binárne operácie a grupy.
Úloha 3.2.3 - $\mathbb R$ resp. $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s binárnou operáciou $a*b=ab+a+b$.
Úloha 3.2.22 - doplnenie tabuľky grupy.
Hoci sme taký termín nepoužili, vlastne sme sa tu prvýkrát stretli s izomorfizmom: viewtopic.php?t=495 (O izomorfizmoch grúp - čo bol tento prípad - sa budeme rozprávať na Algebre 2. Ale aj tento semester sa stretneme s izomorfizmom vektorových priestorov.)
Úloha 3.2.23 ak $x\circ x=a$ platí pre všetky prvky grupy $(G,\circ)$, tak táto grupa je komutatívna.
Polia. Stihli sme úlohu 3.3.2d, t.j. overiť, že $F=\{a+b\sqrt5; a,b\in\mathbb Q\}$ tvorí s obvyklým sčitovaním a násobením pole. Opäť pridám nejakú linku, kde sa hovorí o takomto type úloh: viewtopic.php?t=84 (Myslím, že prakticky všetko, čo tam nájdete, sme spomenuli aj na cviku.)
A tu je linka na iný príklad podobného typu, ktorý však je o čosi ťažší (keďže tam pracujeme s treťou odmocninou a nie iba s druhou): viewtopic.php?t=349
Binárne operácie a grupy.
Úloha 3.2.3 - $\mathbb R$ resp. $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s binárnou operáciou $a*b=ab+a+b$.
Úloha 3.2.22 - doplnenie tabuľky grupy.
Hoci sme taký termín nepoužili, vlastne sme sa tu prvýkrát stretli s izomorfizmom: viewtopic.php?t=495 (O izomorfizmoch grúp - čo bol tento prípad - sa budeme rozprávať na Algebre 2. Ale aj tento semester sa stretneme s izomorfizmom vektorových priestorov.)
Úloha 3.2.23 ak $x\circ x=a$ platí pre všetky prvky grupy $(G,\circ)$, tak táto grupa je komutatívna.
Polia. Stihli sme úlohu 3.3.2d, t.j. overiť, že $F=\{a+b\sqrt5; a,b\in\mathbb Q\}$ tvorí s obvyklým sčitovaním a násobením pole. Opäť pridám nejakú linku, kde sa hovorí o takomto type úloh: viewtopic.php?t=84 (Myslím, že prakticky všetko, čo tam nájdete, sme spomenuli aj na cviku.)
A tu je linka na iný príklad podobného typu, ktorý však je o čosi ťažší (keďže tam pracujeme s treťou odmocninou a nie iba s druhou): viewtopic.php?t=349
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2017/18
3. cvičenie: (19.10.)
Polia. Overovali sme, či nejaké množiny reálnych čísel s obvyklým sčitovaním a násobením tvoria pole. Keďže sme v podmnožinách $\mathbb R$ a berieme obvyklé $+$ a $\cdot$, tak viaceré vlastnosti sme mali zadarmo. (Bolo sa treba zamerať najmä na to, či ide o binárnu operáciu a či inverzné prvky padnú do danej množiny.) Konkrétne sme zistili, že (s obvyklým sčitovaním a násobením):
Posledný príklad považujem za náročnejší, ale tie predtým beriem ako štandardné úlohy, ktoré by mala väčšina z vás zvládnuť.
Pripomeniem, že v týchto úlohách sa ako pomerne užitočné ukázalo to, že sme vedeli dokázať, že pre ľubovoľné $a,b,c,d\in\mathbb Q$ platí:
$$a+b\sqrt3=0 \Leftrightarrow a=b=0$$
$$a+b\sqrt3=c+d\sqrt 3 \Leftrightarrow a=c \land b=d$$
Pridám tu ešte linku na niečo o poli $\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$: viewtopic.php?t=349
Viac-menej to isté je i v texte v príkladoch 4.4.21 a 6.5.6. (Uvidíme, či sa podarí stihnúť sa na niečo z toho pozrieť na prednáške alebo na cvičení - aj keď podľa minulých rokov sa dá odhadnúť, že pravdepodobne nie.)
Snáď je zaujímavé vedieť, že nejaké veci, ktoré sa naučíme na tomto predmete, nám môžu výrazne zjednodušiť dôkaz toho, že toto tiež bude pole.
Okrem toho sme sa ešte stihli pozrieť na úlohu 3.3.10: Overili sme, že $(\mathbb R,+,\ast)$, kde $+$ je obvyklé sčitovanie reálnych čísel a pre každé $a,b\in\mathbb R$ $a\ast b=-2ab$ je pole.
Polia. Overovali sme, či nejaké množiny reálnych čísel s obvyklým sčitovaním a násobením tvoria pole. Keďže sme v podmnožinách $\mathbb R$ a berieme obvyklé $+$ a $\cdot$, tak viaceré vlastnosti sme mali zadarmo. (Bolo sa treba zamerať najmä na to, či ide o binárnu operáciu a či inverzné prvky padnú do danej množiny.) Konkrétne sme zistili, že (s obvyklým sčitovaním a násobením):
- $\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$ je pole;
- $\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Z\}$ nie je pole;
- $\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb R\}$ je pole (lebo to je to isté ako $\mathbb R$);
- $\{a+b\sqrt2+c\sqrt3; a,b,c\in\mathbb Q\}$ nie je pole;
- $\{a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6; a,b,c,d\in\mathbb Q\}$ je pole.
Posledný príklad považujem za náročnejší, ale tie predtým beriem ako štandardné úlohy, ktoré by mala väčšina z vás zvládnuť.
Pripomeniem, že v týchto úlohách sa ako pomerne užitočné ukázalo to, že sme vedeli dokázať, že pre ľubovoľné $a,b,c,d\in\mathbb Q$ platí:
$$a+b\sqrt3=0 \Leftrightarrow a=b=0$$
$$a+b\sqrt3=c+d\sqrt 3 \Leftrightarrow a=c \land b=d$$
Pridám tu ešte linku na niečo o poli $\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$: viewtopic.php?t=349
Viac-menej to isté je i v texte v príkladoch 4.4.21 a 6.5.6. (Uvidíme, či sa podarí stihnúť sa na niečo z toho pozrieť na prednáške alebo na cvičení - aj keď podľa minulých rokov sa dá odhadnúť, že pravdepodobne nie.)
Snáď je zaujímavé vedieť, že nejaké veci, ktoré sa naučíme na tomto predmete, nám môžu výrazne zjednodušiť dôkaz toho, že toto tiež bude pole.
Okrem toho sme sa ešte stihli pozrieť na úlohu 3.3.10: Overili sme, že $(\mathbb R,+,\ast)$, kde $+$ je obvyklé sčitovanie reálnych čísel a pre každé $a,b\in\mathbb R$ $a\ast b=-2ab$ je pole.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2017/18
4. cvičenie: (26.10.)
Vektorové priestory. Trochu sme sa pozreli na počítanie v $F^3$ pre $F=\mathbb R$ a $F=\mathbb Z_7$.
Okrem toho sme urobili úlohy 4.1.2 a 4.1.10. ($F$ je vektorový priestor nad $F$, $\mathbb R$ je vektorový priestor nad $\mathbb Q$.)
Podpriestory. Niekoľko úloh typu zistiť, či daná podmnožina $\mathbb R^3$ resp. $\mathbb R^{\mathbb R}$ je podpriestor (Niektoré časti z úloh 4.2.3 a 4.2.4.)
Vektorové priestory. Trochu sme sa pozreli na počítanie v $F^3$ pre $F=\mathbb R$ a $F=\mathbb Z_7$.
Okrem toho sme urobili úlohy 4.1.2 a 4.1.10. ($F$ je vektorový priestor nad $F$, $\mathbb R$ je vektorový priestor nad $\mathbb Q$.)
Podpriestory. Niekoľko úloh typu zistiť, či daná podmnožina $\mathbb R^3$ resp. $\mathbb R^{\mathbb R}$ je podpriestor (Niektoré časti z úloh 4.2.3 a 4.2.4.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2017/18
2.11. Namiesto cvičenia bola prednáška.
9.11. Písali sme písomku.
5. cvičenie: (16.11.)
Pozreli sme sa na nejaké príklady týkajúce sa lineárneho obalu, lineárnej nezávislosti, bázy a dimenzie. Pri niektorých z nich sme si ukázali, že sa dajú riešiť aj úpravou na redukovaný trojuholníkový tvar.
Konkrétne sme stihli úlohy 4.3.2, 4.3.3, 4.3.5a a 4.4.3a z textu.
Ešte sme si ukázali, že priestor všetkých reálnych postupností nie je konečnorozmerný. (Aby sme videli aspoň jeden príklad takéhoto priestoru.) Veľmi podobná vec je uvedená aj v texte ako príklad 4.4.22. (Tam to je urobené pre priestor $\mathbb R^{\mathbb R}$.)
9.11. Písali sme písomku.
5. cvičenie: (16.11.)
Pozreli sme sa na nejaké príklady týkajúce sa lineárneho obalu, lineárnej nezávislosti, bázy a dimenzie. Pri niektorých z nich sme si ukázali, že sa dajú riešiť aj úpravou na redukovaný trojuholníkový tvar.
Konkrétne sme stihli úlohy 4.3.2, 4.3.3, 4.3.5a a 4.4.3a z textu.
Ešte sme si ukázali, že priestor všetkých reálnych postupností nie je konečnorozmerný. (Aby sme videli aspoň jeden príklad takéhoto priestoru.) Veľmi podobná vec je uvedená aj v texte ako príklad 4.4.22. (Tam to je urobené pre priestor $\mathbb R^{\mathbb R}$.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2017/18
6. cvičenie: (23.11.)
Vlastne všetky úlohy, ktoré sme dnes rátali, boli také, kde sa dali použiť riadkové operácie a úprava na redukovanú trojuholníkovú maticu. (Typov úloh, kde sa dajú tieto veci použiť, bude ešte veľmi veľa: viewtopic.php?t=540 )
Konkrétne sme sa pozreli na úlohy 5.2.2, 5.2.4, 5.2.8.
Pripomenuli sme ako sa dá robiť čiastočná skúška správnosti pri úprave na RTM (viewtopic.php?t=531 a poznámka 5.2.18).
Spomenuli sme aj to, že platí $h(A)=h(A^T)$. (Dôkaz bude na prednáške neskôr.)
Riešenia zopár úloh na hodnosť s parametrom sa dajú nájsť aj tu na fóre:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190
Vlastne všetky úlohy, ktoré sme dnes rátali, boli také, kde sa dali použiť riadkové operácie a úprava na redukovanú trojuholníkovú maticu. (Typov úloh, kde sa dajú tieto veci použiť, bude ešte veľmi veľa: viewtopic.php?t=540 )
Konkrétne sme sa pozreli na úlohy 5.2.2, 5.2.4, 5.2.8.
Pripomenuli sme ako sa dá robiť čiastočná skúška správnosti pri úprave na RTM (viewtopic.php?t=531 a poznámka 5.2.18).
Spomenuli sme aj to, že platí $h(A)=h(A^T)$. (Dôkaz bude na prednáške neskôr.)
Riešenia zopár úloh na hodnosť s parametrom sa dajú nájsť aj tu na fóre:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2017/18
7. cvičenie: (30.11.)
Súčin matíc. Pozreli sme sa na úlohy 5.4.2 a 5.4.3. Pri druhej z nich sme si povedali niečo o súvise medzi súčinom matíc a elementárnymi riadkovými/stĺpcovými operáciami.)
Matica zobrazenia, inverzná matica. Úloha 5.3.1, úloha 5.5.1. (Úloha 5.3.1 je vyriešená v poznámkach k prednáške.)
Lineárne zobrazenia. Úloha 5.3.2. (Vlastne ešte jedna ekvivalentná charakterizácia lineárnych zobrazení - ktorú sme vlastne použili aj pri zdôvodnenie, že postup cez riadkové úpravy funguje na nájdenie inverznej matice.
Porozprávali sme sa aj o tom, že pri výpočte inverznej matice vieme urobiť skúšku správnosti aj v strede výpočtu: viewtopic.php?t=531
(Pri výpočte matice zobrazenia by ste mali vedieť spraviť skúšku aspoň na konci.)
Ako na cviku niekto navrhol, úloha na nájdenie matice zobrazenia by sa v podstate dala riešiť aj pomocou násobenia matíc. Riadkovými úpravami, ktoré sme robil, sa $(A|B)$ dostaneme na konci k $(I|A^{-1}B)$; teda by sa hľadaná matica dala dostať ako $A^{-1}B$. Môžete sa zamyslieť nad tým, prečo to funguje. (Prípadne sa pozrieť do poznámok k prednáške, kde veci úzku súvisiace s týmto nájdete v poznámke 5.6.6.)
Zafunguje to však iba v prípade, že inverzná matica existuje. (Čiže ak zadané vektory tvoria bázu.)
Pretože inverznú maticu by sme však počítali skoro rovnakým postupom, tak by sme pri takomto niečom asi veľmi neušetrili množstvo výpočtov, ktoré treba urobiť.
Súčin matíc. Pozreli sme sa na úlohy 5.4.2 a 5.4.3. Pri druhej z nich sme si povedali niečo o súvise medzi súčinom matíc a elementárnymi riadkovými/stĺpcovými operáciami.)
Matica zobrazenia, inverzná matica. Úloha 5.3.1, úloha 5.5.1. (Úloha 5.3.1 je vyriešená v poznámkach k prednáške.)
Lineárne zobrazenia. Úloha 5.3.2. (Vlastne ešte jedna ekvivalentná charakterizácia lineárnych zobrazení - ktorú sme vlastne použili aj pri zdôvodnenie, že postup cez riadkové úpravy funguje na nájdenie inverznej matice.
Porozprávali sme sa aj o tom, že pri výpočte inverznej matice vieme urobiť skúšku správnosti aj v strede výpočtu: viewtopic.php?t=531
(Pri výpočte matice zobrazenia by ste mali vedieť spraviť skúšku aspoň na konci.)
Ako na cviku niekto navrhol, úloha na nájdenie matice zobrazenia by sa v podstate dala riešiť aj pomocou násobenia matíc. Riadkovými úpravami, ktoré sme robil, sa $(A|B)$ dostaneme na konci k $(I|A^{-1}B)$; teda by sa hľadaná matica dala dostať ako $A^{-1}B$. Môžete sa zamyslieť nad tým, prečo to funguje. (Prípadne sa pozrieť do poznámok k prednáške, kde veci úzku súvisiace s týmto nájdete v poznámke 5.6.6.)
Zafunguje to však iba v prípade, že inverzná matica existuje. (Čiže ak zadané vektory tvoria bázu.)
Pretože inverznú maticu by sme však počítali skoro rovnakým postupom, tak by sme pri takomto niečom asi veľmi neušetrili množstvo výpočtov, ktoré treba urobiť.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2017/18
8. cvičenie: (7.12.)
Sústava rovníc, vyjadrenie množiny riešení. (V podstate sme prešli to čo je v texte vysvetlené v príkladoch 5.7.12 a 5.7.13, pozreli sme sa aj na dve sústavy z úlohy 5.7.4). Pritom sme sa trochu porozprávali aj o tom, ako sa dá robiť skúška správnosti: viewtopic.php?t=522
Pre daný podpriestor nájsť homogénnu sústavu, ktorej množina riešení je presne tento podpriestor (úloha 5.7.7).
Báza a dimenzia prieniku a súčtu podpriestorov. (Úloha 4.5.1d. Úloha takéhoto typu je vyriešená tu: viewtopic.php?t=816)
Sústava rovníc, vyjadrenie množiny riešení. (V podstate sme prešli to čo je v texte vysvetlené v príkladoch 5.7.12 a 5.7.13, pozreli sme sa aj na dve sústavy z úlohy 5.7.4). Pritom sme sa trochu porozprávali aj o tom, ako sa dá robiť skúška správnosti: viewtopic.php?t=522
Pre daný podpriestor nájsť homogénnu sústavu, ktorej množina riešení je presne tento podpriestor (úloha 5.7.7).
Báza a dimenzia prieniku a súčtu podpriestorov. (Úloha 4.5.1d. Úloha takéhoto typu je vyriešená tu: viewtopic.php?t=816)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2017/18
9. cvičenie: (14.12.)
Determinanty. Pozreli sme sa na niektoré determinanty $n\times n$ - úlohy 6.5.9, 6.5.10, 6.5.12 z textu. Videli sme, ako sa pomocou determinantu matice zloženej zo samých jednotiek dá ukázať, že počet párnych a nepárnych permutácií je rovnaký.
Determinanty. Pozreli sme sa na niektoré determinanty $n\times n$ - úlohy 6.5.9, 6.5.10, 6.5.12 z textu. Videli sme, ako sa pomocou determinantu matice zloženej zo samých jednotiek dá ukázať, že počet párnych a nepárnych permutácií je rovnaký.