Hypotéza kontinua - platí $\aleph_1=2^{\aleph_0}$?

[Martin Sleziak]

Takúto otázku sa občas nejakí študenti spýtajú. Možno by nezaškodilo niekde napísať nejako stručne, čo sa dá o vzťahu medzi $\aleph_1$ a $2^{\aleph_0}$ povedať človeku, ktorý ovláda nejaké základné veci o kardinalite.

Čo je hypotéza kontinua

Na začiatok aspoň skúsim nejako jasne povedať čo sa vlastne pýtame.

Vieme, že $\aleph_0$ je kardinalita množiny $\mathbb N$ a $\mathfrak c=2^{\aleph_0}=|\mathcal P(\mathbb N)|=|\mathbb R|$. (Kardinál $\mathfrak c$ sa zvykne volať aj kardinalita kontinua.

Kardinálne číslo $\aleph_0$ je najmenší nekonečný kardinál. Číslo $\aleph_1$ je "ďalšie v poradí", t.j. je to najmenšie nespočítateľné kardinálne číslo. (Mohli by sme sa pýtať aj odkiaľ vlastne vieme, že také kardinálne číslo vôbec existuje, to by ale bolo na samostatnú diskusiu: viewtopic.php?t=597)

Pre oba spomenuté kardinály vieme, že $\aleph_1>\aleph_0$ a tiež $2^{\aleph_0}>\aleph_0$
Potom sa môžeme pýtať, či platí
$$\aleph_1=2^{\aleph_0}$$
a práve tejto otázke sa hovorí hypotéza kontinua.

Vieme ju sformulovať aj trochu inak - možno táto formulácia je prístupnejšia, napríklad z dôvodu že nepoužíva čísla ako $\aleph_0$, $\aleph_1$.

Čiže to isté ideme skúsiť povedať inak.

Z Cantorovej vety vieme, že pre ľubovoľnú množinu platí $|A|<|\mathcal P(A)|$. Špeciálne teda máme aj $|\mathbb N|<|\mathbb R|=|\mathcal P(\mathbb N)|$. Teda sme v situácii, že máme nespočítateľnú množinu $\mathbb R$ a jej spočítateľnú podmnožinu $\mathbb N$. Budú všetky nekonečnú podmnožiny $\mathbb R$ mať rovnakú kardinalitu ako niektorá z týchto množín, alebo sa môže vyskytnúť niečo medzi?

Teda hypotézu kontinua môžeme sformulovať aj ako otázku, či existuje množina taká, že
$$|\mathbb N| < |A| < |\mathbb R|$$
alebo ekvivalentne
$$\aleph_0 < |A| < 2^{\aleph_0}.$$
(Ak pridáme požiadavku, že $A\subseteq\mathbb R$, tak nič nezmeníme. Túto podmienku spomínam hlavne preto, že aspoň vidno súvislost s reálnymi číslami a je teda niečím opodstatnené, že v názve sa vyskytuje slovo "kontinuum".)

Čo vieme o hypotéze kontinua

O hypotéze kontinua vieme, že sa nedá dokázať ani vyvrátiť. T.j. zo štandardných axióm teórie množín sa nedá dokázať $\aleph_1=2^{\aleph_0}$ ani $\aleph_1<2^{\aleph_0}$. Toto by si zaslúžilo detailnejší komentár, ale na začiatok asi len pridám nejaké zdroje kde si o tom môžete prečítať viac.

Keďže ide o dosť slávne výsledky, azda sa patrí spomenúť aj ľudí, ktorí ich dokázali - sú to Kurt Gödel a Paul Cohen.

[Martin Sleziak]

Asi keď spomeniem kľúčové slová continuum hypothesis či hypotéze kontinua, tak s nimi budete vedieť nájsť nejaké zdroje čo niečo o nej hovoria. (A článok na anglickej Wikipédii je možný zmysluplný začiatok. Pridám aj linku na českú Wikipédiu, kde je článok o tejto téme o čosi podrobnejší ako na slovenskej.) Azda aj táto linka môže byť užitočná: Is $2^{\aleph_0} = \aleph_1$?.

Zo zdrojov v češtine/slovenčine by som ja odporučil asi najviac kapitolu "Romance matematické analýzy a teorie množin" na začiatku knihy B. Balcar, P. Štěpánek: Teorie množin. (Táto kniha je dosť pokročilá učebnica, ale táto úvodná kapitola je naozaj písaná tak, že je čitateľná každým čo má zvládnutý nejaký úvodný kurz a vie niečo o kardinalite. A veľmi zrozumiteľne hovorí o nejakých dôležitých otázkach ktoré sa vyskytli vo vývoji teórie množín a špeciálne je tu niečo venované aj hypotéze kontinua a je dosť zrozumiteľne vysvetlené čo sa o nej vlastne vie a ako sa to podarilo dokázať.)

Z vecí dostupných v slovenčine spomeniem knihu Pavol Zlatoš: Ani matematika si nemôže byť istá sama sebou - dá sa nájsť aj v elektronickej podobe. Dá sa tu dočítať veľa zaujímavého o logike a teórii množín - na pár miestach sa stručne spomenie aj hypotéza kontinua. A ak vás zaujíma to, že existujú výsledky ktoré sú nedokázateľné, tak toto môže byť kniha kde sa o tom môžete dozvedieť o niečo viac.)

[Martin Sleziak]

To čo som napísal stručne tak, že "hypotéza kontinua sa nedá dokázať ani vyvrátiť" by bolo presnejšie povedané tak, že "hypotéza kontinua aj jej negácia sú relatívne konzistentné vzhľadom na axiómy ZFC". Nebudem sa snažiť vysvetliť všetky pojmy, ktoré sa tu vyskytujú - zostaňme pri tej stručnejšej (aj keď trochu nepresnej) formulácii.

S čím by som tu chcel stráviť pár riadkov je ukázať nejakú analógiu z ktorej by mohlo byť aspoň trochu jasné, že sa zmysluplne dá vôbec sformulovať a dokázať niečo také ako "toto tvrdenie je nedokázateľné". Je jasné, že to bude len také zjednodušené vysvetlenie (už len z toho že je pomerne krátke) - ale možno pomôže hrubej predstave.

Bez toho, že by som zachádzal do detailov poviem, že existujú nejaké štandardné axiómy teórie množín - najčastejšie sa používa axiomatický systém ZFC. Teda keď riešime otázku či sa hypotéza kontinua dá dokázať, tak sa tým myslí otázka či sa dá dokázať práve z týchto axióm.

O nedokázateľnosti nejakého tvrdenia sa môžeme presvedčiť zostrojením vhodného modelu. (V tomto prípade by to bolo model ZFC.) Jediné, čo si sľubujem od týchto dvoch príkladov je, že by mohla byť aspoň trochu jasnejšie čo si predstaviť pod tým, keď hovoríme o modele nejakej teórie.

Grupy

V definícii grupy máme niekoľko podmienok (axióm): uzavretosť, asociatívnosť, neutrálny prvok, inverzy.

Môžeme sa pýtať, či sa z týchto podmienok dá dokázať, že pre ľubovoľné dva prvky grupy platí
$$xy=yx.$$
(T.j. či platí komutatívnosť.)

Ľahko zistíme, že nie - stačí nájsť jeden príklad nekomutatívnej grupy. Tým mám objekt ktorý spĺňa všetky axiómy (model) a v ktorom táto podmienka neplatí. Z toho vieme, že sa nedá dokázať z "axióm" grupy komutatívnosť.

Je to síce pomerne naivný príklad (očividne tu vystupujú výrazne jednoduchšie pojmy ako pri hypotéze kontinua.) Ale aspoň by približne mohol osvetliť čo sa tu deje.

Neeuklidovské geometrie

Tento príklad spomeniem preto že je pomerne známy. (A tiež sa naň dá v istom zmysle pozerať ako na situáciu podobnú ako s hypotézou kontinua - pýtame sa na dokázateľnosť nejakého tvrdenia zo zadaných axióm.)

Euklidovská geometria obsahuje viacero axióm ktoré majú spĺňať body a priamky. (Ak sa pozriete na Hilbertove axiómy, tak v tejto podobe by to mohlo výraznejšie pripomínať moderné axiomatické systémy.)
Jeden z nich je známy piaty postulát, ktorý hovorí že bodom možno viesť práve jednu rovnobežku s danou priamkou (neobsahujúcou tento bod).

Dlho sa viedli spory o tom, či sa tento postulát dá dokázať z ostatných axióm euklidovskej geometrie. Argument že sa to tak nedá je práve to, že existujú modely neeuklidovských geometrií - v ktorých sa zmysluplne dá hovoriť o bodoch a priamkach, spĺňajú všetky ostatné axiómy, nie však postulát o rovnobežkách.