DU2 - ZS 2014/15

[Martin Sleziak]

Asi by som mal niečo napísať aj k d.ú. č.2.

Azda sa oplatí pozrieť na komentáre z minulých rokov:
viewtopic.php?t=327
viewtopic.php?t=85

Niektoré problémy, ktoré sa vyskytli:
* Už som písal o tom, že logické spojky píšeme medzi výroky, množinové operácie medzi množiny; nedá sa to zamieňať. viewtopic.php?t=309
* Zápis $x\in B_1 \cap B_2 \cap \dots$ zvyčajne predstavuje $x\in\bigcap\limits_{i=1}^\infty A_i$, t.j. prienik systému $\{B_i; i=1,2,\dots\}$. My sme v zadaní mali ľubovoľnú množinu $I$, ktorú možno nevieme vypísať tak, že začneme postupne vymenovávať prvky.
* Pri dôkaze nejakej identity, kde robíme prienik/zjednotenie ľubovoľného systému (môže tam byť aj nekonečne veľa množín), určite nestačí načrtnúť Vennove diagramy. (Aj keď súhlasím s tým, že vám môžu poskytnúť nejakú intuíciu o tom, či tvrdenie platí alebo nie.)

[Martin Sleziak]

Keďže nepribudlo veľa vecí, ktoré sa mi zdali rozumné dopísať k rovnakému zadaniu tento rok (teraz do polo ako d.ú.3), tak pridám sem. Stále platí, že sa oplatí pozrieť aj na staršie veci, ktoré sú v linkách uvedených vyššie.

Možno to bolo jasné, možno nie pre istotu zdôrazním, že ak ste pri dôkaze dostali napríklad niečo takéto:
\begin{align*}
(x\in \bigcup_{i\in I} A_i)\cup(x\in \bigcup_{i\in I} B_i)
&\Leftrightarrow x\in \bigcup_{i\in I} (A_i\cup B_i)\\
(\exists i\in I) x\in A_i \lor (\exists i\in I) x\in B_i &\Leftrightarrow (\exists i\in I) (x\in A_i \lor x\in B_i)
\end{align*}
tak v poslednom kroku sme vlastne použili
$$(\exists i) P(i) \lor (\exists i) Q(i)\Leftrightarrow (\exists i) P(i)\lor Q(i).$$
(Samozrejme, dohodli sme sa, že takéto veci už môžeme používať od d.ú.2 viac-menej automaticky bez zdôvodnenia - treba si len rozmyslieť, že skutočne platia. Spomenul som to tu, aby bolo vidieť, že dôkazy takýchto množinových identít skutočne nejako súvisia s výrokmi obsahujúcimi kvantifikátory.)

Pozrime sa na zjednotenie systému množín $\bigcup\limits_{i\in I}A_i = \bigcup \{A_i; i\in I\}$. Môžeme si aj označiť $\mathcal S=\{A_i; i\in I\}$. Nasledujúce zápisy sú správne
\begin{align*}
x\in\bigcup_{i\in I} A_i
&\Leftrightarrow (\exists i\in I) x\in A_i\\
&\Leftrightarrow (\exists A\in\mathcal S) x\in A
\end{align*}
Nie je však správny zápis
$$(\exists A_i \in \bigcup_{i\in I} A_i) x\in A_i.$$
(Je pravda, že $A_i\subseteq \bigcup\limits_{i\in I} A_i$. Napísať, že $A_i$ je prvkom zjednotenia označuje niečo iné.)

Takisto sa v niektorých úlohách vyskytoval pre $x\in\bigcup\limits_{i\in I} A_i$ ako alternatíva zápis
$$x\in A_1 \lor x\in A_2 \lor \dots \lor x\in A_i.$$
Je mi jasné čo sa tým chce povedať - ale máte tu niečo ako alternatívu pre nekonečne veľa výrokov. Takýto zápis nie je v poriadku.

[Martin Sleziak]

Prienik a negácia

Z odovzdanej domácej úlohy:

$x\in A\setminus\bigcap\limits_{i\in I} B_i$ $\Leftrightarrow$
$(x\in A )\land (x\notin\bigcap\limits_{i\in I} B_i)$ $\Leftrightarrow$
$(x\in A )\land (\exists i\in I) (x\notin B_i)$

Posledná ekvivalencia nie je správna.
Je pravda, že $(x\in \bigcap\limits_{i\in I} B_i)$ $\Leftrightarrow$ $(\exists i\in I) x\in B_i$.
Ak však namiesto patrí máme nepatrí, tak sa situácia mení.
Ak správne znegujeme tento výrok tak dostaneme
\begin{align*}
(x\notin\bigcap\limits_{i\in I} B_i)
&\Leftrightarrow \neg (x\in\bigcap\limits_{i\in I} B_i)\\
&\Leftrightarrow \neg (\exists i\in I) (x\in B_i)\\
&\Leftrightarrow (\forall i\in I) (x\notin B_i)
\end{align*}