Riešenie
Oplatí sa uvedomiť, že máme veci dimenzií $1+2=3$. Kodimenzia je $1$. (Sme v štvorrozmere. Toto ešte treba overiť, ale napíšem už tu že priamka $p$ nie je rovnobežná s rovinou $\alpha$.)
Pripomeniem, že priemet na jednorozmerný podpriestor vieme hľadať ľahko. (T.j. ak si môžem vybrať či idem permietať na trojrozmerný alebo jednorozmerný podpriestor, môže sa viac oplatiť ten jednorozmerný.)
Priamka je určená bodom $P=(1,2,2,1)$ a smerovým vektorom $\vec u=(0,1,1,0)$; rovina je určená bodom $Q=(-1,2,2,-1)$ a vektormi $\vec v=(2,1,0,-1)$, $\vec w=(0,1,-1,-1)$.
Pomocná nadrovina.
Zoberiem si dané tri vektory, úpravou na RTM zistím, že sú nezávislé a viem nájsť aj vektor, ktorý je na ne kolmý. (To bude normálový vektor pomocnej nadroviny.)
$\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 1 &-1 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim\dots\sim
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}
$
Normálový vektor je $(1,2,-2,4)$.
Budeme teda používať nadrovinu tvaru $x_1+2x_2-2x_3+4x_4+d=0$, ešte potrebujeme parameter $d$.
Nadrovina prechádzajúca bodom $Q=(-1,2,2,-1)$ je
$$x_1+2x_2-2x_3+4x_4+5=0.$$
Vzdialenosť bodu $P=(1,2,2,1)$ od tejto nadroviny je
$$\frac{1+2\cdot2-2\cdot2+4+5}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2+4^2}}=\frac{10}{\sqrt{25}}=\frac{10}5=2.$$
Kolmý priemet.
Chceme zrátať dĺžku priemetu vektora $\overrightarrow{PQ}$ do $S^\bot$, kde $S$ je podpriestor generovaný vektormi $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$.
(Je to v princípe to isté, čo sme rátali pred chvíľou, iba posunuté.)
Mám body $P=(1,2,2,1)$, $Q=(-1,2,2,-1)$ a vektor $\overrightarrow{PQ}=(-2,0,0,-2)$.
Jednotkový vektor v smere, do ktorého premietam, je $\vec u=\frac15(1,2,-2,4)$.
Skalárny súčin je $\langle\overrightarrow{PQ},\vec u\rangle=-2$, čo nám dáva dĺžku kolmého priemetu rovnú $\underline{\underline{2}}$ a priemet je $-2\vec u$.
Môžeme aj spočítať maticu kolmého priemetu do smeru $\vec u$, ktorá je
$$P'=\vec u^T \vec u = \frac1{25}\begin{pmatrix}1\\2\\-2\\4\end{pmatrix}(1,2,-2,4)=
\frac1{25}\begin{pmatrix}
1 & 2 &-2 & 4 \\
2 & 4 &-4 & 8 \\
-2 &-4 & 4 &-8 \\
4 & 8 &-8 & 16
\end{pmatrix}
$$
Kolmý priemet - výpočet matice zobrazenia.
Ak poznáme vektory generujúce podpriestor a jeho ortogonálny doplnok, tak už môžeme maticu projekcie dopočítať štandardným spôsobom:
$\left(\begin{array}{cccc|cccc}
2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
1 & 2 &-2 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac{24}{25} & -\frac2{25} & \frac2{25} & -\frac4{25} \\
0 & 1 & 0 & 0 &-\frac2{25} & \frac{21}{25} & \frac4{25} & -\frac8{25} \\
0 & 0 & 1 & 0 &\frac2{25} &\frac4{25} &\frac{21}{25}&\frac8{25} \\
0 & 0 & 0 & 1 &-\frac4{25} &-\frac8{25} & \frac8{25} & \frac9{25}
\end{array}\right)$
Dostali sme maticu projekcie
$$P=
\begin{pmatrix}
\frac{24}{25} & -\frac2{25} & \frac2{25} & -\frac4{25} \\
-\frac2{25} & \frac{21}{25} & \frac4{25} & -\frac8{25} \\
\frac2{25} &\frac4{25} &\frac{21}{25}&\frac8{25} \\
-\frac4{25} &-\frac8{25} & \frac8{25} & \frac9{25}
\end{pmatrix}=
\frac1{25}
\begin{pmatrix}
24&-2 & 2 &-4 \\
-2 & 21& 4 &-8 \\
2 & 4 & 21& 8 \\
-4 &-8 & 8 & 9 \\
\end{pmatrix}
$$
Pomocou nej môžeme zrátať priemet vektor $\overrightarrow{PQ}=(-2,0,0,-2)$, ktorý sa rovná
$\vec p=\overrightarrow{PQ}\cdot P = (-\frac85,\frac45,-\frac45,-\frac25)=-\frac25(4,2,-2,-1)$. Priemet do ortogonálneho doplnku dostaneme ako rozdiel
$$\overrightarrow{PQ}-\vec p = (-2,0,0,-2) - (-\frac85,\frac45,-\frac45,-\frac25) = (-\frac25,-\frac45,\frac45,-\frac85) = -\frac25(1,2,-2,4).$$
Dĺžka tohoto vektora (a teda aj vzdialenosť) je $\underline{\underline{2}}$.
(Túto istú maticu sme mohli dostať aj z predošlého postupu, pretože vieme, že $P+P'=I$. Azda vidno, že tam sme mali oveľa menej počítania a o dosť menej príležitostí na numerické chyby.)