Exercise 12.6. Find the conjugacy classes of the quaternion group $Q_8$. Give a basis of the centre of the group algebra $\mathbb CQ_8$.
Táto grupa je zadaná ako $G=Q_8=\langle a,b; a^4=1, a^2=b^2, b^{-1}ab=a^{-1} \rangle$.
Máme $Q_8=\{a^ib^j; i\in\{0,1,2,3\}, j\in\{0,1\}\}$, pričom počítať sa tam dá na základe pravidiel $ba^3=ab$, $ba^2=b^3=a^2b$, $ba=a^3b$.
Občas sa nám môže hodiť poznať inverzný prvok k $b$, z $b^2a^2=a^4=e$ dostaneme $b^{-1}=ba^2=a^2b$.
Máme $\boxed{e^G=\{e\}}$, pretože $e$ komutuje so všetkými prvkami.
Pretože $\langle a \rangle \subseteq C_G(a)$, dostaneme $|a^G|=[G:C_G(a)]\le [G:\langle a \rangle ]=2$. Teda $a^G$ obsahuje najviac dva prvky. Súčasne obsahuje aspoň dva prvky, pretože $a$ nie je v center. Z $b^{-1}ab=a^{-1}=a^3$ teda dostaneme $\boxed{a^G=\{a,a^3\}}$.
Z rovnosti $b^{-1}ab=a^{-1}$ môžeme indukciou odvodiť $$b^{-1}a^kb=a^{-k}.$$
Ďalej máme $a^{-j}b^{-1}aba^{j}=a^{-j}a^{-1}a^j=a^{-1}$, z čoho indukciou dostaneme
$$(ba^j)^{-1}a^k(ba^j)=a^{-k}.$$
Špeciálne z $a^2$ takýmto spôsobom dostaneme vždy iba $a^{-2}=a^2$, preto $\boxed{(a^2)^G=\{a^2\}}$.
Pre prvok $b$ máme:
$aba^{-1}=aba^3=a^2b$
$a^2ba^{-2}=a^2ba^2$
Pretože $a^2b=ba^2$, máme $a^2\in C_G(b)$. Súčasne $b\in C_G(b)$, a teda $\{e,a^2,b,a^2b\}\subseteq C_G(b)$. Preto $b^G$ môže mať naviac 2 prvky. Zistili sme, že $\boxed{b^G=\{b,a^2b\}}$.
Už nám zostali len dva prvky, ktoré sú konjugované: $aaba^{-1}=aaba^3=a^3b$. Zostávajúca trieda je $\boxed{(ab)^G=\{ab,a^3b\}}$.
Dostali sme 5 tried konjugácie: $\{e\}$, $\{a,a^3\}$, $\{a^2\}$, $\{b,a^2b\}$, $\{ab,a^3b\}$.
Exercise 12.6
Moderator: Martin Sleziak